§ 8. Шар, внутри которого выделяется тепло

Если в единицу времени на единицу объема количество выделяемого тепла постоянно и равно то дифференциальное уравнение (6.7) гл. I принимает вид

Обычная подстановка дает

Рассмотрим теперь ряд частных случаев.

I. Количество тепла, выделяемое в единицу времени на единицу объема, равно постоянной величине Начальная температура и температура поверхности равны нулю.

Полагая

мы получим в качестве уравнения для уравнение линейного теплового потока в пластине

Если начальная и поверхностная температуры шара равны нулю, то следует решать уравнение (8.3) при условиях

и

Рис. 32. Распределение температуры в шаре если при температура поверхности равна нулю и мощность источников равна постоянной Числа у кривых указывают величины

Значение находим из (4.1) гл. III, и окончательно получаем

Другая форма решения, полезная для небольших значений имеет вид

Несколько кривых, описывающих распределение температур для различных значений показано на рис. 32.

II. Количество тепла, выделяемое в единицу времени, равно Начальная температура и температура поверхности равны нулю.

или

III. Количество тепла, выделяемого в единицу времени, равно Начальная температура и температура поверхности равны нулю.

или

IV. Количество тепла, выделяемого в единицу времени, равно Начальная температура и температура поверхности равны нулю.

V. Количество тепла, выделяемого в единицу времени, равно Начальная температура и температура поверхности равны нулю

VI. Количество тепла, выделяемого в единицу времени, равно Начальная температура и температура поверхности равны нулю.

или

VII. Количество тепла, выделяемого в единицу времени в области равно [22]; в области тепло не выделяется. Начальная температура и температура поверхности равны нулю.

Если , то

Соотношение типа (8.15) можно также вывести и обычным путем.

VIII. В области выделение тепла определяется функцией Начальная температура и температура поверхности равны нулю.

или

IX. Нулевая начальная температура. Количество тепла, выделяемого в единицу времени, равно постоянной Теплообмен на поверхности со средой нулевой температуры.

где корни уравнения

X. Если начальная температура [23] равна

(т. е. равна установившейся температуре в случае нулевой температуры поверхности) и при для происходит теплообмен со средой температуры V, то

где положительные корни уравнения (8.20).