§ 8. Ограниченный стержень с периодически изменяющейся температурой концов. Метод Неймана

В своей работе «О теплопроводности железа и нейзильбера» Вебер [33] описал ряд экспериментов, проведенных им по методу, предложенному Нейманом в его лекциях. Идея этого метода та же, что и идея метода Ангстрема (см. § 4 настоящей главы), но в данном случае периодически изменяют температуру обоих концов стержня. Конец А стержня поддерживается при температуре а конец В — при температуре в течение интервала времени Затем, от момента до конец А поддерживается при температуре а конец В — при температуре Этот процесс повторяется неограниченное число раз. Если такое периодическое изменение температур продолжается достаточно долго, то влияние начального распределения температур исчезнет и возникающее установившееся периодическое колебание температуры можно исследовать методом, изложенным в § 6 гл. III.

Температура определяется из приведенного в предыдущем параграфе соотношения (7.4) при и условий

где равно нулю или любому положительному числу.

Назовем интервалы четными периодами, а интервалы нечетными периодами. Затем, как и в § 6 гл. III, мы покажем, что после достаточно длительных колебаний температуры поверхности температура в момент отсчитываемый от конца одного из четных периодов, равна

а в момент отсчитываемый от конца одного из нечетных периодов, равна

где

Эти выражения можно упростить при помощи рядов Фурье

и

где величина, определяемая (8.3),

Таким образом, для четных периодов мы имеем

и для нечетных периодов

Из соотношений (8.6) и (8.7) следует, что температура в средней точке стержня имеет следующее постоянное значение:

Отсюда можно получить отношение Чтобы получить второе соотношение между этими двумя неизвестными, нужно взять разность значений температур в точках и в любой момент времени. В этих точках члены ряда (выражающего разность температур), в которых кратно 2 или 3, пропадут, а оставшийся ряд настолько быстро сходится, что можно пренебречь членами, начиная с Таким образом, в принятом приближении разность температур в момент времени от начала одного из периодов равна

где а не зависят от

Пусть разности температур между этими точками в моменты равны соответственно. Тогда

и, следовательно, можно найти Используя эту величину, а также значение найденное из выражения (8.8), получим неизвестные