§ 4. Полый цилиндр

Рассмотрим эту область при нулевой начальной температуре и при следующих граничных условиях:

где постоянные коэффициенты, которые могут быть положительными величинами или равняться нулю (при условии, что или и равны нулю не одновременно), — любые постоянные величины. При соответствующем выборе этих постоянных мы получим в общем решении задачи решения для случаев постоянной температуры, постоянного теплового потока, нулевого потока и теплообмена на любой из поверхностей. Вспомогательное уравнение имеет вид

а решение получается в форме

где выбираются так, чтобы удовлетворяло изображениям функций (4.1), а именно:

Подставляя в них решение (4.2) и решая получающиеся уравнения относительно окончательно получим

где

Теперь определяется при помощи теоремы обращения. Подынтегральная функция является однозначной функцией с простым полюсом при и простыми полюсами при где корни

(все действительные и простые) уравнения [7]

Используем обычным образом контур, показанный на рис. 39. Вычет относительно полюса равен

Чтобы найти вычет относительно полюса нужно, чтобы

Здесь мы использовали соотношение (4.4) и рекуррентные формулы (см. (13) и (15) приложения 3). Чтобы упростить это выражение, отметим, что, например, при

Используя этот результат и соотношение (22) приложения 3, найдем

где

Таким образом, окончательно получаем

где корни уравнения (4.5), функция определена (4.9), а

Из этого общего решения можно получить целый ряд решений для частных случаев [9, 10]. Последние можно также получить непосредственным использованием изложенного метода. Предположим, например, что приг мы имеем постоянный тепловой поток а при нулевую температуру. В таком случае в граничных условиях (4.1) имеем и решение (4.10) принимает вид

где положительные корни уравнения

Более сложные задачи, например задачи, приведенные в § 9 гл. I с граничными условиями, соответствующими контакту с хорошо перемешиваемой жидкостью или идеальным проводником на одной или обеих поверхностях, могут рассматриваться точно таким же образом. Случай периодического изменения температуры поверхности рассмотрен в [13]. Задача о выделении тепла в изолированной проволоке, по которой протекает электрический ток [14], по существу представляет собой задачу для цилиндра с конечными размерами, но, кроме того, при ее рассмотрении можно пользоваться различными приближенными решениями, полученными из анализа теплового потока в полом цилиндре.

Несколько значений корней уравнения (4.5) для случая приведено в приложении 4. Корни этого уравнения для случая т. е. корни уравнения (4.13), приведены в [15]. Задача при также была решена численным методом.