§ 10. Неограниченный полый цилиндр. Радиальный поток

I. Неограниченный полый цилиндр. Поверхности поддерживаются при нулевой температуре. Начальная температура

В этом случае мы имеем

Положим где и зависит только от тогда для и получим уравнение

т. е. уравнение Бесселя нулевого порядка.

Если область изменения не включает то могут встретиться функции Бесселя второго рода. Рассмотрим функцию

Эта функция обращается в нуль при Кроме того, она обращается в нуль и при если а служит корнем уравнения

Известно, что все корни уравнения (10.3) действительны и просты и что каждому положительному корню а соответствует отрицательный корень [25]. Некоторые значения этих корней приведены в табл. 4 приложения 4. Сначала найдем интегралы от функций аналогичные соответствующим интегралам, рассмотренным в § 5 данной главы. Повторяя приведенный там анализ для значений получим

где два различных корня уравнения (10.3).

Кроме того,

Теперь, используя соотношение (20) приложения 3, получим

Помимо этого,

Однако если а служит корнем (10.3), то, например,

Таким образом, (10.7) принимает вид

Следовательно, (10.5) можно записать в виде

Два других интеграла можно найти почти тем же способом из нашего дифференциального уравнения, используя (10.6) и (10.8). Эти интегралы имеют вид

где а — корень уравнения (10.3).

Предположим теперь, что начальную температуру можно разложить в ряд

который можно проинтегрировать почленно; тогда из (10.4) и (10.9) имеем

Таким образом, мы приходим к решению нашей задачи в виде

причем суммирование ведется по всем положительным корням уравнения (10.3).

Для случая постоянной начальной температуры мы получим, используя (10.8),

II. Начальная температура равна а при поверхности поддерживаются при постоянных температурах

В этом случае, имеющем большое практическое значение, мы можем написать, как и в § 14 гл. I,

где

согласно соотношению (2.3) данной главы, представляет собой температуру при установившемся потоке между поверхностями при

при определяется (10.12), в котором заменено на Используя (10.11), получим искомое решение в виде

Ряд других решений для полого цилиндра, выведенных рассмотренными выше методами, приводится в [50, 51]. При наличии теплообмена или других граничных условий на поверхностях подобные задачи можно рассматривать аналогичным образом, используя соответствующие обобщения цилиндрической функции однако эти задачи, вероятно, лучше рассматривать методом преобразований Лапласа, что и будет сделано в § 4 гл. XIII.