ГЛАВА VIII. ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ОБЛАСТЯХ, ОГРАНИЧЕННЫХ КООРДИНАТНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

§ 1. Введение

В настоящей главе мы исследуем ряд задач по теплопроводности для областей, ограниченных координатными поверхностями цилиндрической системы координат, например ограниченный и полуограниченный цилиндры, ограниченные полые цилиндры и т. д. Для этого используем методы, изложенные в предыдущих главах. Задачи этого типа для областей, ограниченных изнутри цилиндром кругового сечения, можно рассматривать тем же способом, используя решения, приведенные в § 5 гл. XIII.

Кроме того, задачи по теплопроводности цилиндрических областей решаются в §§ 10—15 гл. XIV при помощи функций Грина, а в § 11 гл. XV — при помощи преобразования Лапласа.

§ 2. Установившееся распределение температур в неограниченной и полуограниченной среде, обусловленное подводом тепла через круг

Предположим, что через круг радиуса расположенный в плоскости подводится тепло, количество которого в единицу времени зависит только от

Дифференциальное уравнение теплопроводности

удовлетворяется

для любого Таким образом,

служит решением нашей задачи, если функцию можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла заданным условиям в плоскости Для этой цели можно применить интегральную теорему Неймана (см. [1] гл. XIV); однако два наиболее интересных случая описываются хорошо известными интегралами,

содержащими функции Бесселя [см. [1], § 13.42 и [2]):

Рассмотрим теперь задачу, в которой круговой диск лежащий в плоскости поддерживается при температуре, равной Здесь мы выбираем в (2.2) равной Тогда

представляет собой решение нашей задачи. Согласно (2.3) это выражение равно К для Оно служит решением задачи и для области когда круг расположенный в плоскости поддерживается при температуре V, а тепловой поток через остальную часть плоскости отсутствует.

Если количество тепла, подводимое к неограниченному твердому телу в единицу времени через единицу площади круга радиуса а, лежащего в плоскости (например, плоского круглого нагревательного элемента), равно постоянной величине то условие, которое должно удовлетворяться в плоскости имеет вид

Таким образом, используя (2.2) и (2.4), мы получим решение в виде

Его можно применить к важной задаче полуограниченного твердого тела при различных условиях на поверхности последнего. Задачи аналогичного типа в случае неустановившегося состояния разобраны в § 5 гл. X.

I. Температура области постоянна и равна V при вне этого круга тепловой поток отсутствует.

Из (2.5) имеем

или

Тепловой поток через круг равен

При этом для вычисления интеграла используется цитированная выше работа (см. [1]). Величину можно считать термическим сопротивлением в случае установившегося потока через круг радиуса а в полупространство. Из (2.10) следует, что

II. Области с коэффициентами теплопроводности, равными соответственно и температурами на больших расстояниях от начала координат, равными соответственно и Установившийся тепловой поток проходит через круг радиуса а, расположенный в плоскости Остальная часть плоскости непроницаема для тепла.

Температуры в областях находят, как и в примере они равны соответственно

Эти выражения можно упростить, как и (2.8) и Термическое сопротивление равно

III. Область с постоянным тепловым потоком через круг и нулевым потоком через

Воспользовавшись (2.7), получим следующее выражение для искомой температуры:

Средняя температура области равна [1]

Так как величина теплового потока через круг радиуса а равна то из (2.15) следует, что

Неустановившееся состояние и соответствующая задача для случая нагрева полосы рассматриваются в § 5 гл. X.

IV. Область с постоянным тепловым потоком через круг и нулевой температурой [5] в области

V. Термическое сопротивление при переходе в полупространство.

Когда тепло или электричество течет через круг радиуса а в полупространство, часто важно знать установившееся термическое (поверхностное) или электрическое сопротивление в полупространстве. Простейшее приближение, которое часто используется для малых кругов, заключается в замене круга полусферой радиуса а (иными словами, вещество считается идеальным проводником); при этом поток оказывается радиальным. Тогда, учитывая (2.14) гл. IX, мы находим, что термическое сопротивление определяемое как (где V — температура контакта и поток через него), равно

Точное значение в (2.11) в случае, когда круг поддерживается при постоянной температуре, в раз больше значения в уравнении (2.18), что указывает на важность учета области, находящейся вблизи начала координат.

В задачах, представляющих практический интерес, тепло или электричество обычно подводится в полупространство через провод, и в этом случае граничное условие постоянства температуры, предполагаемое в примере I, оказывается недостаточно точным; действительно, можно считать, что постоянство потока, как в примере II, является допустимой идеализацией, поэтому, сравнивая коэффициент 0,25 в уравнении (2.11) и коэффициент в уравнении (2.16), мы можем получить представление о том, как велика ошибка в найденных нами величинах сопротивления.