§ 8. Цилиндр. Радиальный тепловой поток

В этом случае мы исходим из решения (3.5) гл. X для единичного мгновенного цилиндрического поверхностного источника, действующего в момент времени на поверхности в неограниченной среде, т. е. из соотношения

Отсюда, используя (22) приложения 5 при получим

Как обычно, мы ищем решение в виде где удовлетворяет уравнению

и должно быть таким, чтобы удовлетворяло граничным условиям.

I. Область с температурой поверхности, равной нулю. В момент времени на поверхности действует единичный мгновенный поверхностный цилиндрический источник.

Решение уравнения (8.3), имеющее конечное значение в начале координат, записывается в виде где А должно быть определено из условия, что при что

Используя это значение получим

значение для получается, если поменять местами в соотношении (8.4). Используя обычным способом теорему обращения, найдем

где корни уравнения

Предполагая, что на поверхности действует источник мощностью интегрируя от до а по и предполагая, что функция такова, что можно поменять порядок интегрирования и суммирования, получим решение для цилиндра с температурой поверхности, равной нулю, и начальной температурой, равной в виде

Таким же путем, воспользовавшись результатами § 1 данной главы, можно решать задачи с произвольными начальными температурами и произвольными температурами поверхности для рассматриваемых ниже областей.

II. Цилиндр В момент на поверхности действует единичный мгновенный поверхностный цилиндрический источник. Граничное условие при имеет вид

где

Этот случай включает в себя пример I, а также случай теплообмена на поверхности и случай равенства нулю теплового потока на поверхности.

где положительные корни уравнения

Если то к правой части решения (8.7) надо прибавить член Та же задача, что и II, но граничное условие при имеет вид

где положительные коэффициенты.

где положительные корни уравнения

IV. Полый цилиндр В момент времени поверхности действует единичный мгновенный поверхностный цилиндрический источник. Граничные условия имеют вид

В данном случае

где положительные корни уравнения (4.5) гл. определены соотношениями (4.9) и (4.11) той же главы; должны быть здесь больше или равны нулю. Если то к правой части решения (8.11) следует прибавить член .

V. Область, ограниченная изнутри цилиндрической поверхностью В момент времени на поверхности действует мгновенный цилиндрический поверхностный источник. Граничное условие при имеет вид

В данном случае

где