§ 3. Тепловые регенераторы и теплообменники

Передача тепла от движущейся горячей жидкости к холодной имеет очень большое практическое значение. Имеются системы двух основных типов, при помощи которых передается тепло: теплообменники и регенераторы.

В теплообменнике горячая и холодная жидкости текут по обеим сторонам тонкой перегородки, которая предназначена просто для их разделения; тепло передается от одной жидкости к другой через эту перегородку, которая в идеальном случае настолько тонка, что ее теплоемкостью можно пренебречь, а сама она ведет себя при теплопередаче просто как контактное сопротивление (см. пример § 9 гл. I). Жидкости могут течь либо в одном направлении (параллельное течение, или прямоток), либо в противоположных направлениях (встречное течение, или противоток); установившееся состояние достигается очень быстро, и решения для него приводятся во всех работах по теплообмену (см., например, [10]).

В регенераторах горячая и холодная жидкости попеременно проходят по твердой стенке; когда по ней протекает горячая жидкость, она поглощает тепло, а затем отдает его холодной жидкости, причем этот процесс циклически повторяется. Здесь наиболее важно сохранение тепла стенкой, и поэтому следует тщательно изучить поток тепла в ней. Следует отметить,

что данная задача оказывается достаточно сложной. Для практики основной интерес представляет окончательный установившийся периодический режим.

Изложим несколько приложений метода преобразования Лапласа к неустановившимся режимам в идеализированных системах обоих описанных типов.

Пусть поверхность стенки представляет собой плоскость и пусть в области в направлении оси х течет равномерный поток жидкости со скоростью Предполагается, что жидкость хорошо перемешивается и, следовательно, ее температура в любой плоскости, перпендикулярной направлению потока, одинакова; однако при этом предполагается также, что тепло не распространяется в направлении течения жидкости. Пусть масса жидкости, соприкасающейся с единицей поверхности стенки, -удельная теплоемкость жидкости, и ее температура в момент времени в точке х (т. е. во всей полуплоскости -температура поверхности стенки в точке х (т. е. во всех точках прямой в момент коэффициент теплоотдачи стенки.

Как и в § 9 гл. IV, температура жидкости должна удовлетворять уравнению

где

Уравнения (3.1) и

служат граничными условиями для уравнения теплопроводности в теле

Совершенно очевидно, что решение этих уравнений связано со значительными трудностями, и поэтому на практике принимают различные упрощающие предположения. Обычно полагают, что коэффициент теплопроводности тела в направлении течения жидкости равен нулю и конечен [12] или бесконечен в перпендикулярном ему направлении.

1. Твердое тело с бесконечно большим коэффициентом теплопроводности в направлении, перпендикулярном направлению течения, и нулевым коэффициентом в направлении течения.

Пусть масса твердого тела, приходящаяся на единицу поверхности стенки, с — его удельная теплоемкость; пусть, далее, температура тела на его поверхности равна эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

где

В нашей задаче мы должны рассматривать дифференциальные уравнения (3.1) и (3.4). Рассмотрим область причем начальная температура как твердого тела, так и жидкости равна нулю и при температура жидкости в плоскости поддерживается равной единице.

Вспомогательные уравнения, соответствующие (3.1) и (3.4), имеют вид

Их следует решать при условии, что при Отсюда получим

Чтобы найти отметим, что, согласно формуле (24) приложения 5,

Тогда из (2.6) гл. XII находим

В таком случае, в соответствии с теоремой IV (см. § 2 гл. XII), получим

из равенств (3.11) и (3.12) следует, что

или

где (3.14) получается из (3.13) путем интегрирования по частям, а другая важная форма (3.15) легко получается умножением обеих частей (3.11) на и интегрированием по х от до х.

Используя выражения (3.12) и (3.14), а также теорему VII § 2 гл. XII, получим из (3.8) и (3.9), что если то равны нулю, а если то

где Решения для других значений температуры подводимой жидкости можно получить, воспользовавшись теоремой Дюамеля.

Уравнения, аналогичные приведенным выше, появляются в теории ионообменных колонн; недавно они привлекли к себе большое внимание [23, 24]. Поскольку такие уравнения встречаются очень часто, функцию

которая появляется в выражениях (3.12), (3.13) и (3.15), называют фундаментальной; равенство двух последних выражений дает следующий важный результат:

Свойства этой функции были достаточно полно рассмотрены Гольдштейном [23].

II. Случай выделения тепла в твердом теле.

Пусть при в твердом теле выделяется в единицу времени на единицу массы постоянное количество тепла, равное Начальные температуры как тела, так и жидкости равны нулю. При температура жидкости в плоскости поддерживается равной нулю.

В этом случае уравнение (3.4) заменяется уравнением

Решая уравнения (3.1) и (3.20) с при при получаем для вспомогательного уравнения

где

Чтобы найти и, нам необходимы выражения

и

которые вытекают из (3.11) и теоремы X § 2 гл. XII. Используя их и теоремы VI и VII того же параграфа, получим

Если

Если вплоть до момента количество тепла, выделяемого в единицу времени, равно нулю, а при оно равно постоянной величине (т. е. после того, как частицы жидкости, находившиеся в момент времени в плоскости достигнут плоскости то (3.21) примет вид

Используя (3.23) и теорему VII (см. § 2 гл. XII), получим, что при а равно нулю, а при

Это решение можно выразить также через функцию определяемую соотношением (3.19).

III. Коэффициент теплопроводности твердого тела К в направлении, перт пендикулярном движению жидкости, конечен, а в направлении движения жидкости равен нулю.

В качестве примера, в котором получается простое решение, рассмотрим полуограниченное твердое тело предположив, что в любой точке температура его поверхности равна температуре жидкости (например, случай очень большой величины в уравнении (3.1)).

В твердом теле температура должна удовлетворять уравнению

при условии на поверхности

где температура жидкости в плоскости а условие (3.31) вытекает из (3.1) и (3.3). Как и раньше, рассмотрим случай нулевой начальной температуры в области при на плоскости Здесь вспомогательные уравнения имеют вид

где

Их нужно решить при условии, что когда кроме того, при ограничено, а при ограничены. Искомые решения имеют вид

и

Таким образом, из формулы (8) приложения 5 и из теоремы VII § 2 гл. XII следует, что при равны нулю, а при

Решение вспомогательных уравнений в случае более общих граничных условий (3.1) и (3.3), или для тела в форме пластины или цилиндра, не наталкивается на трудности, хотя изображения получаются значительно более сложными.

IV. Задача, аналогичная задаче III, но с конечной величиной

Положив получим

и решение

которое при сводится к (3.38). Выражение для небольших значений времени можно получить, разлагая показательные функции в (3.40) по степеням и используя формулы типа (14) и (18) приложения 5.

V. Задача, аналогичная задаче III, но при в плоскости (на единицу массы за единицу времени) выделяется постоянное количество тепла При в плоскости температура жидкости равна нулю. Начальные температуры жидкости и тела равны нулю.

Температура жидкости и записывается следующим образом:

где определяется равенством (3.35), становившийся режим теплообменников.

В качестве примера условий, имеющих место в теплообменнике до наступления установившегося состояния, рассмотрим случай противотока в области Пусть по одну сторону тонкой перегородки (с нулевой теплоемкостью) в плоскости жидкость течет со скоростью в направлении оси пусть, далее, масса жидкости на единицу поверхности, с — удельная теплоемкость этой жидкости, а — температура в плоскости х в момент времени Пусть по другую сторону перегородки на единицу поверхности приходится масса жидкости с удельной теплоемкостью пусть, далее, их температура жидкости в плоскости х в момент времени ее скорость в направлении х. Пусть, наконец, общий коэффициент теплопередачи, так что тепловой поток в единицу времени через стенку в точках равен

Дифференциальным уравнением для и служит (3.1), т. е.

для их мы получим аналогичное уравнение, в котором заменено на т. е.

где

Предположим, что начальная температура обеих жидкостей равна нулю и что при в плоскости Соответствующие вспомогательные уравнения имеют вид

Их следует решать при условии, что при а при стремится к нулю. Решая уравнение относительно и, получим

где

Величину и находят при помощи формулы (25) приложения 5, применяя анализ использованного выше типа (см. (3.11) — (3.16)).

Искомое решение имеет вид

и

Функция определяется аналогичным образом: если она равна нулю, а если то

Встречное течение в ограниченной области рассматривается аналогичным путем: и будет иметь заданное значение при а их — при При прямотоке в области как и, так и точно определяются в плоскости