по определению
Формула обращения, которая является рядом Фурье по синусам, имеет вид
Интегрируя по частям, получим
Аналогичным образом обозначим операцию конечного преобразования функции по косинусам через 
а через 
— значение преобразованной функции; тогда
а формула обращения принимает вид
Кроме того,
Из соотношения (5.3) следует, что преобразование по синусам оказывается полезным для решения задач с заданной граничной температурой, а из соотношения (5.6) вытекает, что преобразование по косинусам пригодно для решения задач с заданным тепловым потоком. Для граничного условия третьего рода следует применять новый тип преобразования, основанный на разложении, приведенном в § 9 гл. III. Аналогичным образом для радиального теплового потока в областях 
могут быть определены конечные преобразования по Ганкелю, однако для граничного условия третьего рода необходимо применять другое преобразование.
I. Пластина 
с нулевой начальной температурой; при 
поверхности 
поддерживаются при температуре, равной единице.
Поскольку в данной задаче рассматривается температура граничных поверхностей, применим преобразование по синусам к уравнению
которое, согласно (5.3), примет вид
его следует решать при условии, что 
когда 
Искомое решение имеет вид
Следовательно, воспользовавшись (5.2), получим решение
которое сводится к соотношению (4.1) гл. III. (Для получения этого соотношения нужно воспользоваться разложением единицы в ряд по синусам.)
II. Установившийся поток в теле прямоугольного сечения 
Граничная поверхность 
поддерживается при температуре и 
другие поверхности — при нулевой температуре.
Применяя синус-преобразование Фурье по переменной х, получим уравнение
которое следует решать при условии, что 
когда 
когда 
Искомое решение имеет вид
В таком случае, воспользовавшись (5.2), получим
что соответствует решению (3.9) гл. V.
хотя чаще применяется промежуток 
операцию конечного преобразовения функции по синусам, а через 
значение преобразованной функции; тогда
