§ 2. Интегральные преобразования и формулы их обращения

В данном параграфе и в следующих является функцией х или ее преобразование обозначается прописной буквой V, а вид преобразования — либо индексом, либо новой переменной или Во всех случаях мы примем (без объяснения), что рассматриваемые интегралы существуют; кроме того, если потребуется, мы допустим, что функции и их производные стремятся к нулю при стремлении переменного к бесконечности.

I. Преобразование Фурье в комплексной форме.

Обозначим через операцию преобразования функции по Фурье в комплексной форме, которое определяется соотношением

Согласно выражению (3.7) гл. II формула обращения имеет вид

Интегрируя по частям, получим

при условии, что и стремятся к нулю при Преобразование Фурье по синусам.

Обозначим через операцию преобразования функции по синусам, а через ее значения; это преобразование определяется следующим образом:

формула обращения, согласно соотношению гл. II, имеет вид

Кроме того, если при как так и стремятся к нулю, то, интегрируя по частям, получаем

где определяется ниже (см. соотношение (2.9) данной главы).

III. Преобразование Фурье по косинусам.

Обозначим через операцию преобразования функции по косинусам, а через ее значения; тогда

и, согласно соотношению (3.13) гл. II, формула обращения имеет вид

Помимо этого, если при как так и стремятся к нулю, то

IV. Преобразование Ганкеля.

Преобразование Ганкеля порядка от функции обозначается через или оно определяется соотношением

формула обращения для него имеет вид

Далее, двойное интегрирование по частям и использование формулы (2) (см. приложение 3) дает

при условии, что и стремятся к нулю, когда

V. Преобразование Меллина.

Преобразование Меллина от функции обозначается через или оно определяется выражением

формула обращения для него имеет вид [1]

Интегрируя по частям, получим

при условии, что стремятся к нулю, когда