§ 17. Конус

Предположим, что в момент времени в точке ) действует единичный мгновенный источник. Как и раньше, будем исходить из значений пик, определяемых уравнениями (16.1) и (16.3) предыдущего параграфа. Будем искать выражение для а, пригодное в случае конической граничной поверхности. Это дрстигается путем использования интеграла для или аналогичного интегралу (14.1) данной главы для полученному для соответствующей задачи с клином.

Требуемое решение [28] для случая, когда имеет

где С — контур, начинающийся на бесконечности в первом квадранте, проходящий через точку и заканчивающийся на бесконечности в четвертом квадранте.

Чтобы найти температуру в точке обусловленную действием источника в случае, когда поверхность конуса поддерживается при температуре, равной нулю, будем исходить из величины» определяемой соотношениями (17.1) и (16.4) данной главы, а именно

при Есди то в этом соотношении следует поменять местами. Функция должна удовлетворять уравнению (16.5) предыдущего

параграфа, и поэтому мы можем написать

где функцию следует выбрать так, чтобы при

Это условие требует, чтобы следовательно, при мы получим

Если то в этом соотношении нужно поменять местами. Интеграл в (17.3) берут, замыкая контур дугой большой окружности в правой полуплоскости и применяя теорему Коши. Подынтегральная функция имеет полюсы в нулях функции рассматриваемой как функция ; она не имеет полюсов при целых значениях поскольку для них Определяя вычеты относительно полюсов, окончательно получим

Суммирование проводится по корням, большим уравнения

Однако для этих значений

Поэтому

И окончательно, используя (22) приложения 5, получим для

причем суммирование проводится по корням уравнения (17.4).

Если источник находится не на оси, а в точке то функцию в соотношении для и следует заменить на где угол между радиусами-векторами от начала координат до точек

Если ввести обозначения то при теорема сложения для сферических гармонических функций дает

где

Если то в соотношении следует поменять местами. Подставляя величину из выражения (17.8) в (17.2) и производя такие же операции, как и выше, за исключением того, что вместо соотношения (17.5) используется его обобщенная форма [28], т. е.

окончательно получим

где суммирование по проводится по корням, большим уравнения

При помощи соотношения (17.11) можно найти температуру в любой точке конуса при произвольной начальной температуре и произвольной температуре поверхности. Аналогичным образом можно рассматривать и задачи для твердых тел, ограниченных другими поверхностями в полярной системе координат.