ГЛАВА XVIII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

§ 1. Введение

В последние годы много внимания уделялось разработке численных методов решения задач теплопроводности. Это обусловлено отчасти растущим интересом к численному анализу, а отчасти — возможностью решения важных практических задач при помощи электронных и других вычислительных машин.

Из предыдущих глав следует, что точные решения практически имеются лишь для линейных задач, в которых рассматриваются области простейшей формы. Для исследования тел сложной формы или нелинейных граничных условий приходится обращаться к численным методам. Здесь, конечно, нельзя дать что-либо, похожее на полное изложение, однако желательно привести обзор состояния вопроса и указать удобные методы решения встречающихся задач. Ученые, использующие точные решения, часто достигают в своей работе стадии, на которой желательно проверить пригодность сделанных допущений (например, линеаризации) или решить простые задачи, для которых точные решения отсутствуют. В самом деле, использование простых численных методов (например, методов, описанных в § 3 данной главы) представляется очень простым делом, поскольку они не требуют изучения численного анализа. Поэтому наибольшее место в настоящей главе отведено простейшим методам последовательных приближений. Поскольку такие методы применяются при расчетах на машине, именно они лучше всего изучены теоретически. Наконец, следует указать, что, хотя в теории конечных разностей описанные в настоящей главе методы оказываются наиболее очевидными, их никак нельзя считать единственными.

§ 2. Конечные разности

Предположим, что нам известны значения функции при значениях аргумента . В таком случае первая, вторая, третья, последующие (forward) разности

функции определяются соотношениями

и т. д. Они называются «последующими» разностями потому, что содержат значения с возрастающими индексами Аналогичным образом можно определить и предыдущие (backward) разности (т. е. разности с убывающими индексами но здесь они нам не потребуются. Однако ясно, что иногда удобно пользоваться системой обозначений, содержащей точки, симметричные относительно Для этого вводится система обозначений центральных разностей. Первая, вторая, центральные разности определяются следующим образом:

и т. д. Можно видеть, что в разности нечетного порядка, как и в (2.4), входят точки, распределенные симметрично относительно а не относительно Для получения формулы, симметричной относительно вводятся так называемые средние разности, определяемые соотношениями

где называет на операцию усреднения величин для

Вся теория теперь основывается на предположении, что известны величины и что составлена «таблица разностей» этих величин и их последовательных разностей (2.1), (2.2), ... В принципе в данном случае можно найти такой полином, например что в любом заданном числе точек (его коэффициенты можно выразить через или их разности), и над этим полиномом выполняют любые операции, например интерполяцию, дифференцирование или интегрирование. Поэтому первая производная означает первую «производную интерполируемого полинома в точке те. В этом смысле, если известны значения функции в точках те, то можно указать много формул, позволяющих выразить ее производные в любой точке или через ее табличные значения, или через их разности. Например,

или

или

или

или

или

Доказательства этих результатов, а также ряда других можно найти в трудах, посвященных конечным разностям. В данном же случае, когда считается малой величиной, разности порядка имеют порядок ел. Таким образом, пренебрежение разностью дает ошибку порядка В приводимых ниже упрощенных расчетах разности более высоких порядков считаются пренебрежимо малыми и используются только первые члены в правых частях соотношений (2.8) — (2.14). Вносимая при этом погрешность будет зависеть от порядка первого пренебрегаемого члена; так, формулу (2.11), в которой опускают разности третьего и более высоких порядков и ошибка в определении имеет порядок следует предпочесть формуле (2.8), в которой мы пренебрегаем уже разностью второго порядка, и поэтому ошибка в определении имеет порядок При очень важных численных расчетах всегда сохраняют и используют разности более высоких порядков. При этом можно уменьшить время, требуемое для решения задачи, и повысить точность результатов, но это достигается за счет усложнения применяемого математического метода.

Приведем еще два результата, которые понадобятся нам при вычислениях в цилиндрических или сферических координатах. Пренебрежем разностями третьего и четвертого порядков; тогда из (2.11) и (2.14) следует, что при

Если при то

Подобным же образом, если то

если при то

При рассмотрении функций двух или большего числа переменных можно совершенно аналогичным образом определить частные разности. Например, если является функцией х и у и мы выбираем одинаковые интервалы по х и у, т. е. то из соотношения (2.14)

следует, что

Отсюда мы получаем

что потребуется нам при изучении уравнения Лапласа в плоской задаче.