§ 4. Установившийся тепловой поток

Вероятно, самое важное свойство перечисленных в § 2 преобразований, заключается в том, что во многих важных частных случаях они сводят уравнение Лапласа с двумя переменными к обыкновенному дифференциальному уравнению. Поэтому, если мы имеем уравнение

то применение комплексного преобразования Фурье по х дает

То же уравнение получается в результате применения к (4.1) преобразований по синусам и косинусам.

Используя преобразования Ганкеля нулевого порядка к уравнению

получаем

Применение преобразования Меллина к уравнению

дает

В качестве примеров рассмотрим следующие задачи.

I. Область с постоянным потоком через поверхность и нулевым потоком при

Следует решить уравнение (4.3) с граничными условиями

Применим к уравнению (4.3) преобразование Ганкеля нулевого порядка. При этом должо удовлетворять уравнению (4.4) и стремиться к нулю при граничным условием для этого уравнения при служит преобразование Ганкеля условия (4.7), т. е. соотношение

Отсюда следует, что

Теперь, воспользовавшись формулой обращения (2.14) данной главы, получим

что соответствует решению (2.7) гл. VIII.

Решения, приведенные в § 2 гл. VIII, были получены при помощи интегралов (2.3) и (2.4) той же главы с тем, чтобы привлечь внимание к простому, но важному методу; если же воспользоваться интегральной формулой Ганкеля в классическом виде, то требуемый анализ оказался бы аналогичным изложенному выше.

II. Клин при условии, что в области в области при

Следует решить уравнение (4.5) при заданных граничных условиях. Если воспользоваться преобразованием Меллина, то должно удовлетворять уравнению (4.6) при условии, что когда

Отсюда следует, что

Тогда применение формулы обращения (2.17) данной главы дает