§ 2. Теплопроводность

Можно сказать, что математическая теория теплопроводности основывается на гипотезе, подсказываемой следующим экспериментом.

Пусть задано некоторое твердое тело в виде пластины, ограниченное двумя параллельными плоскими поверхностями таких размеров, что при рассмотрении точек, расположенных в середине плоскостей, эти ограничивающие поверхности можно считать бесконечными. Обе поверхности пластины поддерживаются при различных температурах, причем разность между ними не должна достигать таких больших значений, при которых может возникнуть какое-либо заметное изменение свойств исследуемого твердого тела. Верхнюю поверхность пластины можно, например, поддерживать при температуре тающего льда, помещая на нее толченый лед, а нижнюю — при некоторой постоянной температуре, заставляя поток теплой воды непрерывно обтекать поверхность. Если эти условия сохраняются достаточно долго, то в каждой данной точке температура пластины достигает определенного значения, причем в точках, расположенных в какой-либо плоскости, параллельной ограничивающим поверхностям пластины, и достаточно удаленных от ее краев, температура будет оставаться одинаковой.

Рассмотрим часть пластины, ограниченную воображаемым цилиндром с поперечным сечением S и с осью, перпендикулярной поверхности пластины.

Предполагается, что этот цилиндр выделен в середине пластины, и поэтому тепловой поток через его образующие отсутствует. Пусть температура нижней поверхности равна верхней и пусть толщина пластины равная? см. Результаты экспериментов над различными твердыми телами приводят к гипотезе, что при достижении установившегося температурного состояния количество тепла протекающего за сек через площадку пластины, равно

где К — константа, зависящая от свойств вещества и называемая коэффициентом теплопроводности данного вещества. Другими словами, тепловой поток между двумя поверхностями пропорционален разности температур между ними.

Нельзя считать, что такой вывод доказывается подобными экспериментами; они скорее подсказывают этот закон. Более точной проверкой этого закона служит соответствие экспериментальных данных с расчетными данными, полученными в математической теории, основанной на предположении о справедливости указанного закона.

Величина, обратная значению коэффициента теплопроводности, называется удельным термическим сопротивлением вещества.

Строго говоря, коэффициент теплопроводности К для данного вещества не остается всегда постоянным, а зависит от температуры. Однако в ограниченном диапазоне температур этим изменением К можно пренебречь» и в обычной математической теории предполагается, что коэффициент теплопроводности не изменяется с температурой. Более близкое приближение к действительному положению вещей можно получить, полагая К линейной функцией температуры т. е.

где мало и для большинства веществ отрицательно.

Из выражения (2.1) коэффициент теплопроводности получается в виде

Отсюда следует размерность коэффициента К и природа единиц, в которых он выражается.

В качестве системы единиц, наиболее часто применяемых в физике, используется система СГС; в ней температуру измеряют в градусах Цельсия (°С), а за единицу тепла принимают калорию, т. е. такое количество тепла, которое требуется для повышения температуры воды массой в на 1°С. В этой системе К имеет размерность В тех случаях, когда в этой книге даются численные значения, используется указанная система единиц.

В приложении 6 приведены значения величин (в частности, характеризующих термические свойства некоторых типичных веществ, дающие представление о порядке этих величин [1].

Из выражения (2.2) следует, что в системах, где единицей тепла является такое его количество, которое вызывает у единицы массы воды увеличение температуры на одну единицу, К имеет размерность

так как отношение имеет размерность массы.

Если желательно измерять количество тепла работой, необходимой для получения этого количества, то в качестве единиц используют обычно эрг или джоуль. Число джоулей У, соответствующее одной калории, называется механическим эквивалентом тепла. Для определенной выше калории

В основном эксперименте, из которого выведено наше определение теплопроводности, предполагалось, что исследуемое твердое тело однородно и что при нагревании какой-либо точки внутри этого тела тепло распространяется одинаково хорошо во всех направлениях. Такие твердые тела называются изотропными, в противоположность кристаллическим и другим анизотропным телам, у которых теплопроводность в одних направлениях больше, чем в других. Существуют также неоднородные твердые тела, в которых условия теплопроводности меняются от точки к точке и, кроме того, в каждой данной точке зависят от направления.