ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА. НЕОГРАНИЧЕННОЕ И ПОЛУОГРАНИЧЕННОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО

§ 1. Введение. Простые решения уравнения для линейного потока тепла

В этой главе мы рассмотрим различные задачи, в которых изотермические поверхности представляют собой плоскости, параллельные плоскости , поток тепла линеен и линии тока параллельны оси х. Получающиеся результаты применимы и к задаче о потоке тепла вдоль прямолинейного стержня малого поперечного сечения в отсутствие теплообмена на его боковой поверхности. Задачи, в которых это условие не выполняется, рассматриваются в гл. IV.

После того как мы найдем решение для неограниченного тела, мы приступим к детальному изучению многих важных задач о линейном тепловом потоке в полуограниченном твердом теле, т. е. в твердом теле, которое ограничено плоскостью и простирается до бесконечности в положительном направлении оси х. Во всех случаях предполагается, что термические характеристики тела во всех его точках одинаковы и не зависят от температуры. Распространение этой задачи на переменные термические характеристики рассматривается в § 16 настоящей главы.

Уравнение для линейного потока тепла записывается в виде

Сначала укажем ряд простых решений этого уравнения . В дальнейшем все они будут встречаться во многих местах настоящей книги одновременна с истолкованием их физического смысла.

I. Истокообразное решение.

Рассмотрим выражение

Поскольку

и

выражение (1.2) является частным решением уравнения (1.1). Для этого решения справедливы следующие соотношения:

и

Таким образом, его можно считать решением, соответствующим случаю выделения количества тепла с единицы площади в плоскости в момент времени

Ясно, что ряд других решений уравнения (1.1) получается дифференцированием (или в некоторых случаях интегрированием) выражения (1.2) по х или по

Решение в виде функции ошибок.

Как мы видим, уравнению (1.1) удовлетворяет также

Введем обозначение

которым мы в дальнейшем всегда будем пользоваться, и покажем, что

где А — произвольная постоянная, является решением уравнения (1.1).

Для «функции ошибок», определенной (1.3), справедливы следующие соотношения:

В приложении 2 приведены еще некоторые данные, а также таблицы числовых значений. Мы будем часто пользоваться, кроме того, следующими обозначениями:

III. Решения вида

Можно доказать, что выражение такого типа удовлетворяет уравнению (1.1), если служит решением дифференциального уравнения

Это уравнение совпадает с уравнением (16) приложения 2, и поэтому, если целое число, то выражение

служит решением уравнения (1.1).

IV. Решение в виде экспонент.

Простое дифференцирование сразу же показывает, что выражение

(где постоянные), как действительное, так и комплексное, удовлетворяет уравнению (1.1).

V. Решение для установившегося состояния.

Для случая, когда не зависит от времени, решение уравнения (1.1) записывается в виде

где постоянные.

Было показано [6], что выражения (1.4), (1.11) и (1.12) служат (если не считать тривиальных их модификаций, например при замене х на единственными решениями уравнения (1.1), имеющими вид Решение в виде двойного степенного ряда.

Легко проверить путем подстановки, что выражение

где - постоянные, удовлетворяет уравнению (1.1).

VII. Решение, содержащее две произвольные функции времени. Выражение

где произвольные функции времени, а точки означают дифференцирование по удовлетворяет уравнению (1.1). Для этого решения характерно следующее: если то