§ 3. Установившаяся, периодически изменяющаяся температура в круговых цилиндрах [19—22]
Как и в § 7 гл. III, ищем решения с периодом 
содержащие временной множитель 
(напомним, что на этот множитель нужно умножить все выражения для температур и потоков и что мы условились всюду пропускать его). Тогда соотношение (1.3) данной главы принимает вид
Общее его решение записывается следующим образом (ср. соотношение (6) приложения 3):
где
Поток 
определяется уравнением
Функции Бесселя мнимого аргумента в соотношениях (3.2) и (3.4) выражаются при помощи табулированных функций 
которые определяются соотношениями (ср. [23])
причем их числовые значения для любых значений 
можно считать известными.
Предположим теперь, что 
величины температуры и теплового потока на поверхности 
соответствующие величины на поверхности 
Решая затем (3.2) и (3.4) при 
получим зависимость 
от величин 
Подставляя найденные значения 
в (3.2) и (3.4) при 
получим зависимость 
от величин 
в виде
где
Для упрощения выкладок используется соотношение (22) приложения 3. Приведенная выше запись в виде матриц была рассмотрена в § 7 гл. III. Из соотношения
(3.12) следует, что 
можно выразить через 
в виде
Так же, как и в § 7 гл. III, искомые решения для составных цилиндрических областей можно непосредственно получить, перемножая соответствующие матрицы. Например, если область 
состоит из вещества, характеризуемого величинами 
определяемыми из 
область 
из другого вещества, характеризуемого величинами 
и если между этими двумя веществами вдоль поверхности 
термическое сопротивление на единицу площади равно 
то
Как отмечалось в § 7 гл. III, общие выражения быстро становятся слишком сложными, но для любых заданных условий можно найти из таблиц численные значения 
и выполнить умножение квадратных матриц в соотношении (3.14) или эквивалентных им матриц. Граничные условия на внутренней и внешней поверхностях исследуемого тела позволяют получить два дополнительных соотношения для температур и тепловых потоков на этих поверхностях и, следовательно, мы можем определить все четыре величины.
Для области 
мы должны иметь 
в (3.2), так как 
при 
Отсюда следует, что при 
Для неограниченной области 
в соотношении (3.2) 
должно равняться нулю, так как 
при 
Следовательно, в данном случае при 
можем написать
