ГЛАВА III. ЛИНЕЙНЫЙ ТЕПЛОВОЙ ПОТОК В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ, ОГРАНИЧЕННОМ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ

§ 1. Введение

В настоящей главе мы рассмотрим различные задачи о линейном тепловом потоке в твердом теле, ограниченном двумя параллельными плоскостями (обычно ). Эту область мы будем называть для краткости «пластина Полученные нами результаты применимы также к стержню длиной с теми же условиями на концах при отсутствии теплообмена с его поверхности.

§ 2. Установившаяся температура

В случае установившегося потока тепла в пластине толщиной с коэффициентом теплопроводности поверхность которой поддерживается при температурах дифференциальное уравнение принимает вид

Отсюда

Таким образом, тепловой поток в любой точке равен

где

Соотношение (2.1) по форме полностью совпадает с законом Ома для установившегося электрического тока: тепловой поток соответствует электрическому току, а разность температур падению напряжения. Таким образом, можно назвать термическим сопротивлением пластины.

Теперь предположим, что мы имеем составную пластину, состоящую из пластинок с толщинами и коэффициентами теплопроводности соответственно. Если пластинки находятся в идеальном тепловом контакте по поверхностям раздела, то изменение температуры между противоположными поверхностями всей составной пластины равно сумме изменений температур в отдельных пластинках, и, так как тепловой поток одинаков в любой точке, эта сумма равна следующей величине:

Это равносильно утверждению, что при идеальном тепловом контакте между отдельными слоями составной пластины ее термическое сопротивление равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев

Рассмотрим теперь составную пластину с такими контактными сопротивлениями, что тепловой поток между поверхностями последовательных слоев равен произведению на разность температур этих поверхностей (см. соотношение (9.20) гл. 1). Здесь можно считать термическим сопротивлением контакта, и тогда полное термическое сопротивление составной пластины равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев плюс термическое сопротивление контактов между ними.

Если коэффициент теплопроводности К является функцией температуры» то наше дифференциальное уравнение принимает вид

и, следовательно, остается справедливым соотношение

Интегрируя его от до т. е. в пределах поверхностных температур пластины толщиной получим

и, следовательно,

где

представляет собой средний коэффициент теплопроводности для всего диапазона температур в пластине. Таким образом, если коэффициент теплопроводности зависит от температуры, то предыдущие результаты остаются справедливыми при замене К на