§ 9. Тепловой поток между изотермическими поверхностями

Метод, изложенный в §§ 6-8 данной главы, весьма общий, и он приемлем для изучения задач, в которых температура поверхности является произвольной функцией положения. Из теории конформного отображения здесь используется только преобразование заданной области в плоскости в простую область в плоскости для которой может быть написано решение.

Из наиболее важных практических задач легче всего решаются задачи» в которых границы области в плоскости поддерживаются при постоянной, а не при произвольной температуре, и решение в плоскости принимает простую форму (например, имеет вид (7,9) и (8,2) данной главы). Вместо такого метода получения решения этих задач здесь мы рассмотрим несколько отличный метод, точно соответствующий методу, используемому в теории электричества [43] или гидродинамике. Сама температура берется в виде одной из пары сопряженных гармонических функций; затем путем исследования

функции и, сопряженной с мы можем найти тепловой поток через любой участок одной из граничных поверхностей и, следовательно, выражение для термического сопротивления (см. (5.1) настоящей главы) в установившемся потоке между границами с постоянными температурами.

Пусть, как и выше (см. стр. 426),

Тогда все решения § 6 имеют силу при замене на В частности,

Отсюда следует, что мнимая часть (или аналогичным образом действительная часть) любой функции служит решением уравнения для установившейся температуры и, в частности, определяет температуру в области между кривыми постоянные) в плоскости

Например, если

то мы получим что определяет установившуюся температуру в области между плоскостью поддерживаемой при нулевой температуре, и плоскостью поддерживаемой при единичной температуре (ср. (8.2) данной главы).

Отметим далее, что кривые в плоскости ортогональны (согласно (6.1) и (6.2)). Поэтому, так как линии являются изотермами, кривые являются линиями тока. Кроме того, мы можем написать

Рис. 59.

Поэтому модуль вектора потока (ср. § 3 гл. I) в любой точке равен

Так же просто можно получить величину теплового потока через любой участок изотермической поверхности. Обозначим через дифференцирование по нормали к поверхности, а через дифференцирование по касательной к ней (рис. 59).

Тепловой поток через поверхность в любой точке записывается в виде

Таким образом, тепловой поток через участок поверхности от до равен

где значения и при соответственно.

Как мы видим, введение функции и, сопряженной с значительно упрощает расчет теплового потока через изотермическую поверхность и, следовательно, расчет теплового сопротивления между изотермическими поверхностями.

С этой точки зрения плоскость (см. § 7) можно рассматривать как плоскость настоящего параграфа. В более сложных задачах предыдущего параграфа мы отображаем плоскость в плоскость как и раньше. В простом случае двух изотермических границ записываем решение для плоскости при помощи соотношения (9.2), т. е.

или соответствующей его модификации и получаем из него решение в плоскости Для нахождения модуля вектора потока в любой точке воспользуемся соотношением

Перейдем теперь к изучению термического сопротивления между некоторыми рассмотренными ранее границами.

I. Установившийся тепловой поток между цилиндрами кругового сечения.

Соответствующее преобразование уже приводилось в § 7 настоящей главы. Для практических расчетов решение можно записать в самой простой форме. Используя соотношение (7.7) данной главы и вводя некоторые изменения в обозначения, получим

так что

где расстояния точки Р(х, у) до точек и 6 — углы и (рис. 60).

Рис. 60.

Предположим теперь, что мы хотим найти термическое сопротивление между двумя цилиндрами с радиусами центры которых находятся на расстоянии друг от друга. Подробно рассмотрим случай, когда цилиндр радиуса окружает цилиндр радиуса Обозначим на рис. 60 линию, проходящую через центры, через Следует выразить значение с и отношение для каждой из окружностей через заданные значения

Предположим, что центр А окружности радиуса а расположен на расстоянии от точки О. Обозначим через постоянное значение отношения для такой окружности. Тогда, записывая значение этого отношения соответственно для точек получим

Отсюда следует, что

Аналогичным образом, для окружности радиуса с центром, расположенным на расстоянии от О, получим

Вычитая (9.12) из (9.11), находим

Кроме того, поскольку расстояние между центрами окружностей равно

Отсюда следует, что

Кроме того, подстановка (9.11) в (9.10) дает

Таким образом, учитытая (9.9), получим для этого цилиндра

а для цилиндра с радиусом

Помимо этого, из соотношения (9.9) следует, что при полном обходе любого из цилиндров и увеличивается на Поэтому, согласно (9.5), тепловой поток между цилиндрами (на единицу длины) равен . Разность температур между ними, равная определяется (9.17) и (9.18), и, следовательно, термическое сопротивление между цилиндрами на единицу длины записывается в виде

Для цилиндра радиусом с осью, расположенной на расстоянии от плоскости, причем и цилиндр и плоскость представляют собой, изотермические поверхности, как и раньше, справедливо соотношение (9.17), и для термического сопротивления (на единицу длины) между цилиндром и плоскостью получим

Если цилиндры находятся снаружи друг от друга, то мы предполагаем, что цилиндр с радиусом окружает предельную точку

а цилиндр с радиусом содержит точку С. Будем действовать так же, как и выше, но в данном случае выражение (9.14) следует заменить на Тогда определяется из соотношений

Таким образом, термическое сопротивление (на единицу длины) между двумя цилиндрами равно

II. Другие задачи с круговыми границами.

Следующими по трудности и весьма важными для практики системами являются цилиндр между параллельными плоскостями и решетка, образованная регулярно расположенными цилиндрами. Точные решения задач с помощью конформного отображения получить не удалось, однако известны решения для овальных кривых; соответствующим выбором параметров можно получить хорошее приближение к окружностям.

III. Тепловой поток под непроводящей полосой.

Пусть область поддерживается при постоянной температуре область при нулевой температуре, и при этом тепловой поток через полосу — отсутствует. Положим, что

так что

Эквипотенциальными линиями служат гиперболы

а линиями тока — эллипсы. Эквипотенциальной линией служит линия соответствует нижней стороне луча верхней его стороне. Аналогичным образом, эквипотенциальной линией служит линия соответствует нижней стороне луча — верхней его стороне. Согласно (9.5) тепловой поток из участка нижней стороны оси х равен

IV. Тепловой поток между пластинами и (см. рис. 51). Температура равна единице, температура нулю.

Здесь, как и в (9.2) или (9.6), полагаем

Кроме того, используя соотношения (8.5) данной главы, получим

где расстояние между пластинами.

Модуль вектора потока в любой точке равен следующей величине:

При близ точек на он стремится к величине которая равна установившемуся потоку между двумя параллельными плоскостями. В точке поток бесконечно велик.

На линии (поскольку здесь имеем

Далее, поскольку является точкой величина и в точке равна нулю. Ее значения в точках на и удаленных от на расстояние служат корнями уравнения

Отрицательный корень этого уравнения соответствует точке на нижней стороне (так как здесь см. рис. 52), а положительный корень — точке на верхней стороне

Если велико, отрицательный корень (9.24) приближенно равен

и поэтому величина теплового потока (рассчитанная на длину I) через нижнюю сторону полосы запишется в виде

Эта величина на больше соответствующей величины потока между неограниченными плоскостями.

Для больших значений положительный корень (9.24) приблизительно равен

Таким образом, тепловой поток на расстоянии от точки через верхнюю сторону равен

Тепловой поток в стенке, изогнутой под прямым углом (см. рис. 56).

Пусть температура поверхности равна нулю, а температура поверхности равна единице. Тогда, как и ранее, положим, что

При вершине мы имеем Будем искать тепловой поток (на единицу длины вдоль угла) на длине х стороны отмеряемой

от угла принимая, что длина велика. Для этого, воспользовавшись (8,8), (8.9) и (8.11) данной главы, получим значение соответствующее

где

Теперь, если велико, также велико, а примерно равно единице. Полагая в первых двух членах правой части соотношения (9.28) (напомним, что они малы сравнительно с используя (9.29), получим в качестве первого приближения

Так как велико, мы можем заменить на (допуская при этом ошибку порядка тогда соотношение (9.30) приближенно дает

Поскольку на то, согласно соотношению (9.27), следовательно, тепловой поток на длине х, отмеряемой от через сторону равен

Первый член соответствует установившемуся потоку между плоскостями, находящимися на расстоянии друг от друга. Прибавляя соответствующий член, для найдем, что влияние прямоугольного изгиба заключается в увеличении теплового потока вдоль угла на величину

Если стенки имеют одинаковые толщины (т. е. то это выражение сводится к

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)