§ 11. Неограниченный цилиндр. Установившаяся температура. Общий случай

I. Установившаяся температура в цилиндре Температура поверхности

Разложим в ряд Фурье

Запишем теперь интегралы Фурье для

Тогда, поскольку выражения

(где определено в приложении 3) представляют собой решения уравнения Лапласа в цилиндрических координатах, конечные при решение нашей задачи имеет вид

или

Здесь предполагается, что порядок интегрирования можно изменить.

Чтобы оценить второй интеграл в (11.3), рассмотрим интеграл

взятый по контуру, содержащему при мнимую ось и большую полуокружность в правой полуплоскости. Подынтегральное выражение имеет полюсы в точках служащих положительными корнями уравнения

Определяя вычеты в этих полюсах, мы получим окончательно

Таким образом, из (3) следует

Если температура поверхности является функцией только например имеет вид то решение принимает вид

где служат положительными корнями уравнения

Например, если

то из (11.7) следует, что

где мы использовали соотношение

которое можно получить, положив в соотношении (6.5) данной главы.

Соотношение (11.8) можно также получить непосредственно при помощи метода, используемого ниже.

II. Установившаяся температура в цилиндре движущемся со скоростью в направлении своей оси. При температура поверхности равна единице; при она равна нулю.

В этом случае, как и в § 7 гл. I, дифференциальное уравнение имеет вид

Если мы ищем решение (11.10) вида

то и должно удовлетворять уравнению

Таким образом, если корни уравнения

то

и

обозначает удовлетворяют нашему дифференциальному уравнению и граничным условиям. Для нахождения значений следует воспользоваться условием, требующим непрерывности и при Используя (11.9), мы находим, что из условия непрерывности следует

и

Следовательно, окончательно имеем

При рассмотрении ряда задач этого типа [52, 53] был использован метод, описанный выше, а также метод движущихся источников тепла (ср. гл. X).