§ 7. Область, ограниченная изнутри круговым цилиндром из идеального проводника

Во многих задачах, имеющих практическое значение, например в задачах о нагреве подземных электрических кабелей, а также при измерении теплопроводности методом «зонда» металлический цилиндр окружен неограниченной средой (такой, как почва или горная порода) со значительно меньшей теплопроводностью. С хорошим приближением металл может рассматриваться как

идеальный проводник тепла — влияние конечности коэффициента теплопроводности можно оценить из более сложных результатов, приведенных в § 8 данной главы. В большинстве задач наиболее интересным оказывается вопрос о температуре материала внутри цилиндра. Последний либо имеет вначале температуру, равную единице (область вне цилиндра имеет температуру, равную нулю), либо в единицу времени к нему подводится постоянное количество тепла. Аналогичные задачи возникают в тех случаях, когда область содержит хорошо перемешиваемую жидкость.

Во многих практических задачах между цилиндром и окружающей средой имеется контактное сопротивление. Такие задачи будут рассмотрены ниже (см. примеры III и IV данного параграфа). Однако в первую очередь мы обсудим более простой случай, когда контактное сопрстивление отсутствует.

1. Область имеет в начальный момент времени температуру, равную нулю. На границе эта область соприкасается с идеальным проводником в виде цилиндра, обладающим теплоемкостью единицу длины цилиндра). Начальная температура проводника равна На границе контактное сопротивление отсутствует.

Обозначая температуру в области через получим, как и в примере V § 2 данной главы,

где

является параметром, равным удвоенному отношению теплоемкости эквивалентного объема среды к теплоемкости идеального проводника. Отсюда следует, что

где

Температура V в области равная значению (7.3) при , записывается в виде

График зависимости V от для различных значений а изображен на рис. 45.

II. Та же задача, но цилиндр имеет нулевую начальную температуру и при в него поступает количество тепла, равное в единицу времени на единицу длины величине

Тогда

где определены соответственно выражениями (7.2) и (7.4). При нахождении решения (7.7) из (7.6) следует использовать метод, приводящий к решению (5.17) данной главы.

Рис. 45. Распределение температуры в цилиндре из идеального проводника; в начальный момент времени его температура равна ; температура неограниченной среды, в которой он находится, равна нулю. Числа у кривых указывают значения параметра а.

Температура V в цилиндре, представляющая собой значение (7.7) при равна

На рис. 46 построен график зависимости V от для различных значений а.

III. Нагревание электрического кабеля, проложенного в земле.

Электрический кабель состоит из трех основных частей: сердечника, по которому течет ток, изоляции, отделяющей сердечник от защитной металлической оболочки, и этой оболочки. Поэтому в простейшей идеализированной схеме кабеля сердечник и оболочка должны считаться идеальными проводниками с теплоемкостями соответственно на единицу длины кабеля. Теплоемкость изоляции должна считаться равной нулю, а ее термическое сопротивление на единицу длины кабеля

равным Пусть внешний радиус оболочки равен а, причем кабель проложен в почве, с термическими коэффициентами Кроме того, мы пренебрегаем контактным сопротивлением между оболочкой и почвой.

Практический интерес имеют две задачи: 1) нагревание установившимся током, проходящим по сердечнику, и 2) нагревание током короткого замыкания, при котором температура сердечника внезапно возрастает на конечную величину; в последнем случае требуется исследовать, каким путем это тепло рассеивается.

Рис. 46. Распределение температуры V в цилиндре из идеального проводника, окруженном неограниченной средой, при наличии поверхностных источников постоянной мощности.

Числа у кривых указывают значения параметра а.

Нагревание током короткого замыкания. Если в начальный момент времени температура сердечника равна а соответствующая начальная температура оболочки и окружающей среды равна нулю, то температура V в сердечнике в момент времени будет равна

где

и

Нагревание обычным током. Если в начальный момент времени вся система находится при нулевой температуре и количество тепла, выделяемого в сердечнике на единицу длины в единицу времени, равно то температура в сердечнике в момент времени будет равна

где

определение остальных символов приведено в (7.10) и (7.12).

Мы не располагаем таблицами интегралов (7.11) и (7.14), но Егер [33] приводит графики которые соответствуют кабелю без оболочки.

Если кабель окружен не бесконечной средой, а погружен на глубину , считая от поверхности земли, то на равном расстоянии над землей должно быть помещено его «изображение». Этому изображению будет соответствовать непрерывный постоянный линейный источник (см. соотношение (4.7) гл. X).

IV. Определение теплопроводности методом «зонда».

Пусть цилиндр из идеального проводника радиуса а окружен неограниченной средой и при в нем выделяется количество тепла, равное на единицу длины в единицу времени причем начальная температура всей системы равна нулю; тогда температура V идеального проводника в момент времени при наличии контактного сопротивления (на единицу длины) между цилиндром и окружающей средой, будет, в соответствии с (7.13), равна

Отсюда, как и в § 3 данной главы, следует, что для небольших значений

или

Для больших значений времени (как и в предыдущем параграфе) можем написать

где постоянная Эйлера).

Из соотношения (7.18) следует, что во всех случаях кривая зависимости V от имеет прямолинейную асимптоту с угловым коэффициентом, равным Поэтому, если известно то можно сразу же определить Если то к концу промежутка времени 10 мин будет равняться 600, и следовательно, в этом случае быстро получается асимптота. Вместе с тем, если то равно 6 и время, необходимое для достижения асимптотического значения, оказывается существенно большим.

Методы зонда [38—41] очень удобны при измерении теплопроводности гранулированных материалов, почв и горных пород. В последнем случае зонд следует помещать в отверстие, просверленное в горной породе, и поэтому можно ожидать, что его радиус должен иметь порядок 1 см, и ввиду наличия воздушного зазора между зондом и породой термическое сопротивление окажется довольно значительным. Блэкуэлл [29, 42] подробно рассмотрел этот случай и указал на то, что, воспользовавшись соотношениями (7.16) и (7.18), можно из экспериментальных данных определить все три параметра