§ 2. Одномерные случаи плавления и затвердевания. Решение Неймана и его обобщение

Термические коэффициенты материала в твердой фазе мы будем обозначать в данной главе через а его температуру через соответствующие величины в жидкой фазе мы будем обозначать через Изменением объема при затвердевании мы везде (кроме примера VIII данного параграфа) будем пренебрегать, и следовательно, плотность как твердой, так и жидкой фаз окажется одинаковой.

Пусть скрытая теплота плавления исследуемого вещества равна а температура плавления — Тогда, если поверхность раздела между твердой и жидкой фазами определяется координатой одно из граничных условий, которое должно удовлетворяться на этой поверхности, запишется в виде

Второе граничное условие касается поглощения или выделения скрытой теплоты на этой поверхности. Для определенности предположим, что в области находится жидкость при температуре а в области твердое вещество при температуре В таком случае, если поверхность раздела перемещается на расстояние то в элементе вещества выделяется и должно быть отведено в результате теплопроводности количество тепла, равное в пересчете на единицу поверхности Иными словами,

Условия (2.1) и (2.2) являются граничными условиями, которые в данном случае должны удовлетворяться на поверхности раздела. Легко видеть, что если в области будет находится жидкость с температурой а в области твердое вещество с температурой то условие (2.2) также будет выполняться.

Условие (2.2) можно записать и в другой форме; для этого рассмотрим в плоскости две кривые постоянной температуры (см. (2.1)). В таком случае получаем

отсюда условие (2.2) можно записать в следующем виде:

В этой форме нелинейность задачи становится очевидной. В трехмерном случае граничное условие (2.3) принимает вид

где знаки должны быть выбраны так, чтобы они соответствовали рассматриваемой задаче.

В случае линейного теплового потока температуры в твердой и жидкой областях должны удовлетворять уравнениям

Помимо условий (2.1), (2.2), (2.5) и (2.6), должны выполняться еще условия на неподвижных границах рассматриваемой области. Ниже приводятся решения нескольких важных задач в случае линейного теплового потока [13, 14].

I. Решение Неймана для полу ограниченной области представляющей собой в начальный момент времени жидкость с постоянной температурой При поверхность поддерживается при нулевой температуре.

В данном случае должны удовлетворяться условия (2.1), (2.2), (2.5) и (2.6), а также дополнительные граничные условия

Из (1.4) гл. II следует, что

где постоянная, удовлетворяющая (2.5) и (2.8). Кроме того, если В — постоянная величина, то

удовлетворяет условиям (2.6) и (2.7). Тогда из условия следует, что

Поскольку соотношение (2.11) должно оставаться справедливым во все моменты времени, X должно быть пропорциональным например, должно быть справедливым соотношение

где численный множитель, который следует определять из остающегося условия (2.2). Воспользовавшись (2.9), (2.10) и (2.12), получим

или, используя (2.11) и (2.12),

После того как из (2.14) мы найдем из (2.9) — (2.12) можно определить Выражения для них записываются в виде

и

Полученное выше решение является частным решением дифференциального уравнения (2.6) с граничным условием (2.7); оно удовлетворяет начальным условиям, вытекающим из (2.12) и (2.16). Они имеют вид

т. е. вся область занята жидкостью с температурой

Численно решение уравнения (2.14) легко найти при помощи таблиц функции ошибок. Несколько значений его корней для воды

и льда при различных значениях начальной температуры воды, а также температуры при указаны ниже.

(см. скан)

В очень важном частном случае, когда в начальный момент времени температура жидкости равна температуре плавления, т. е. уравнение (2.14) принимает вид

Корни этого уравнения можно найти из графика функции (рис. 38, кривая Отметим, что для ряда материалов, например для горных пород или металлов с высокой температурой плавления, поверхности которых поддерживаются приблизительно при комнатной температуре, величина примерно равна единице. Вместе с тем в случае замерзания воды при Отводе тепла в область с температурой на несколько градусов ниже нуля величина мала. В данном случае подстановка в уравнение (2.18) первого члена соотношения (4) из приложения 2 приближенно дает

Рис. 38. Графики функций

Этот результат можно получить также при помощи интересного физического приближения, а именно предположив, что распределение температур в твердой фазе примерно совпадает с распределением, соответствующим установившемуся тепловому потоку, причем поверхность имеет температуру т. е. что

Подстановка в условие (2.2) дает

Отсюда

что эквивалентно (2.19).

II. Случай переохлажденной жидкости.

Пусть температура плавления твердого тела равна область в начальный момент времени представляет собой жидкость с температурой а ее затвердевание начинается на плоскости и распространяется вправо. Тепло от затвердевающего материала не отводится, и поэтому его температура будет иметь везде постоянное значение

Если поверхность раздела между твердой и жидкой фазами, то мы ищем решение в виде

Тогда граничные условия при дают.

Отсюда следует, что служит корнем уравнения

который можно найти по кривой II рис. 38.

III. Плавление в области

Рассмотрим теперь задачу, в которой в начальный момент времени область является твердым телом с нулевой температурой, а при плоскость поддерживается при постоянной температуре В этом случае, использовав, как и прежде, для твердой фазы обозначения а для жидкой фазы мы получим для положения плоскости плавления выражение

где корень уравнения

Тогда температуры твердой и жидкой фаз равны соответственно

и

Уравнения (2.25) и (2.14) отличаются друг от друга только тем, что здесь переставлены местами термические коэффициенты твердой и жидкой фаз и величины В начальный момент времени область представляет собой жидкость, а область твердое тело.

Предположим, что в начальный момент времени область является твердым телом с термическими коэффициентами о и нулевой температурой, а область жидкостью с термическими коэффициентами и постоянной температурой Термические коэффициенты затвердевшей жидкости могут отличаться от термических коэффициентов твердого тела в области

Применяемый здесь метод является тривиальным обобщением использованного выше метода. Обозначая через температуры в областях

и соответственно, где -координата, определяющая положение поверхности раздела между твердой и жидкой фазами, примем

В этом случае при связаны условиями непрерывности при которые дают

Поступая здесь так же, как и выше, найдем

где теперь служит корнем уравнения

После нахождения мы получим для соотношения

Это решение было введено Шварцом [15, 16] в качестве лучшего, чем (2.14) — (2.16), приближения для задачи о затвердевании металла, залитого в форму, поскольку термические свойства затвердевшего металла и материала формы сильно отличаются друг от друга. Такое решение может также рассматриваться как фундаментальное решение задачи об охлаждении интрузивных изверженных пород, но в этом случае, поскольку термические свойства горных пород мало отличаются друг от друга, обычно можно считать, что и использовать несколько упрощенные результаты.

Если в начальный момент времени температура жидкости совпадает с температурой ее плавления, т. е. уравнение (2.33) принимает вид

Как отмечалось выше, для горных пород отношение приблизительно равно единице, тогда как для чугуна в песке оно примерно достигает 25. Некоторые значения функции, записанной в левой части (2.37), показаны на рис. 38 (кривые III и IV). Если

то корень уравнения (2.33) становится отрицательным, что соответствует плавлению твердого тела в области горячей жидкостью. Если в этой области и в области материалы одинаковы, то полученное выше решение правильно; если же они

различны, то решение должно быть переписано, с тем, чтобы соответствовать рассматриваемому случаю.

V. Плавление в области обусловленное контактом с горячим твердым телом в области

В этом случае область в начальный момент представляет собой твердое тело с термическими коэффициентами и температурой область твердое тело с термическими коэффициентами и температурой, равной нулю. Термические коэффициенты этого материала в жидком состоянии равны

Если координата, определяющая положение поверхности раздела, то служит корнем уравнения

VI. Случай интервала температур плавления.

Горные породы и сплавы не имеют фиксированных точек плавления, а плавятся в некотором интервале температур, например в интервале от до в котором выделяется скрытая теплота затвердевания Если эта теплота выделяется в интервале равномерно, то ее влияние можно выразить, добавив к собственно теплоемкости жидкости в этом интервале величину -Тгу Иными словами, влияние скрытой теплоты затвердевания в интервале можно приближенно учесть, используя в этом интервале выражение для удельной теплоемкости в виде

Таким образом, наша задача сводится к задаче, в которой не нужно рассматривать скрытую теплоту, но удельная теплоемкость оказывается переменной.

Подобные задачи, вообще говоря, можно решать так же, как и пример VII, однако результаты для наиболее важного частного случая, а именно для случая точного совпадения начальной температуры жидкости и температуры (т. е. наибольшей температуры интервала температур плавления), можно написать непосредственно, положив в соотношениях (2.14) и При этом подразумевается, что есть величина, определяемая (2.40).

Таким образом, для области представляющей собой в начальный момент жидкость с температурой с поверхностью поддерживаемой при при нулевой температуре, уравнение (2.14) дает

Если в начальный момент область представляет собой жидкость с температурой а область твердое тело, как в случае IV, то уравнение (2.33) принимает вид

VII. Многофазные случаи.

Проведенный выше анализ легко обобщить на случай вещестра с несколькими температурами превращений или с несколькими интервалами температур, в которых выделяется скрытая теплота превращения. В качестве иллюстрации рассмотрим обобщение примера I на случай двух температур превращений.

Пусть в начальный момент времени в области температура постоянна и равна V и при поверхность поддерживается при нулевой температуре.

Предположим также, что исследуемый материал имеет две температуры превращения при которых выделяются скрытые теплоты превращений Пренебрегая изменением объема при фазовом переходе будем считать, что все фазы имеют одинаковую плотность При описании фаз в температурных интервалах мы будем пользоваться соответственно индексами 1, 2 и 3.

Между фазами 1 и 2 будет существовать поверхность раздела а между фазами 2 и 3 — поверхность раздела Анализ, совершенно аналогичный анализу, проведенному в примере I, показывает, что

где

Когда совместные уравнения (2.44) и (2.45) разрешены относительно температуры в рассматриваемых трех областях находят из соотношений

В случае вещества, состоящего из фаз, мы будем иметь границ фазового перехода, определяемых соотношениями типа (2.43), и уравнений типа (2.44) и (2.45) для Было показано, что их решение практически возможно [19].

VIII. Влияние изменения объема при затвердевании.

Если плотности твердой и жидкой фаз неодинаковы, то жидкость будет перемещаться. Для иллюстрации этого рассмотрим пример I, предположив для определенности, что плотность твердой фазы больше плотности жидкой

Как и выше (см. (2.12)), будем искать такое решение, чтобы поверхность раздела находилась при а температура твердого тела равнялась

Далее, при перемещении поверхности раздела на расстояние количество образовавшегося при этом затвердевшего материала, отнесенное к единице поверхности эквивалентно количеству жидкости, находящемуся в слое толщиной Иными словами, жидкость движется вдоль оси х со скоростью их, определяемой соотношением

Следовательно, уравнение теплопроводности (7.2) гл. I для движущейся жидкости принимает вид

Легко показать, что при приведенном выше значении X уравнение (2.51) удовлетворяется функцией

значение которой при стремится к пределу, равному В соответствии с условием (2.1) на границе должно выполняться условие

Подстановка этих результатов в (2.2) дает уравнение для

При это уравнение сводится к (2.14).

Для льда для воды и из уравнения (2.54) при получаем Это значение сравнимо с величиной найденной из уравнения (2.14).