§ 8. Преобразование координат

Приведенные выше уравнения можно легко преобразовать к другим системам ортогональных координат. Наиболее удобными из них являются сферические координаты, в которых положение точки определяется расстоянием от начала координат, широтой и азимутом а также цилиндрические координаты, в которых положение точки определяется полярными координатами ее проекции на плоскость и координатой

Эти системы координат являются частными случаями общей системы ортогональных координат, в которой положение точки задается пересечением трех ортогональных поверхностей

Покажем теперь, как легче всего осуществить это преобразование. Рассмотрим элемент объема, ограниченный поверхностями и допустим, что и лежат на поверхностях Пусть уравнение

определяет длину элементарной дуги, соединяющей точки

Тогда площадь участка поверхности вырезаемого поверхностями в точке равна

а количество тепла, протекающее через эту площадку в единицу времени, равно

где величина теплового потока через поверхность в точке

Следовательно, количество тепла, втекающее в элемент объема через поверхность окончательно равно

а количество тепла, вытекающее через поверхность равно

Отсюда полный прирост количества тепла в элементе объема, обусловленный тепловым потоком через эти две поверхности, равен

Для остальных поверхностей получим соответственно

Подставляя вместо их выражения, а именно:

и приравнивая сумму полученных таким образом выражений величине

находим

Если К — постоянная и, как обычно, мы можем написать, что то

это соотношение принимает следующий вид:

Сферические координаты. В этой системе

и

Таким образом, уравнение для принимает следующий вид:

Его можно написать так:

где

Цилиндрические координаты. В этой системе

и

Таким образом, уравнение для принимает следующий вид:

Его можно записать иначе: