§ 12. Обобщение метода изображений Зоммерфельдом
Метод изображений, примененный выше к клину с углом раствора 
где 
положительное целое число, неприменим к клину с углом раствора 
где 
положительные взаимно простые целые числа.
Например, пусть угол раствора равен прямому углу и в точке 
находится заданный источник, причем 
; тогда мы получим следующие изображения:
и
В этом случае при решении задачи трудности не возникают (рис. 36).
Если же угол равен 
и заданный источник находится в точке 
причем 
то мы получим следующие изображения (рис. 37):
и
Так как выражение для температуры, обусловленной действием источника, имеет периодический характер с периодом 
а сток в точке 
дает особую точку, соответствующую стоку в точке 
в точке, расположенной между граничными плоскостями, данный метод оказывается непригодным.
Рис. 36.
Рис. 37.
Однако для полного представления нам нужна только область 
занимаемая твердым телом, и если мы можем найти решение уравнения теплопроводности, имеющее период 
и только одну особую точку при 
в указанной области, причем функция близ этой точки имеет простой вид
то мы можем использовать его так же, как и обыкновенное выражение для температуры, обусловленной источником, и взять изображения в точках, указанных выше.
Этот метод, впервые разработанный Зоммерфельдом, позволяет непосредственно исследовать решение уравнения теплопроводности на соответствующей римановой поверхности (или в римановом пространстве). При угле раствора 
риманова поверхность (или пространство) оказывается 
-листной, и решение будет иметь период 
метод интересен в историческом отношении, так как после его применения к задаче распространения тепла от источника в теле, ограниченном плоскостями 
Зоммерфельду удалось с его помощью дать первое точное решение задачи дифракции волн на полуограниченной плоскости (например, на плоскости 
В настоящее время развит более простой метод решения этих задач, пригодный как для уравнений теплопроводности, так и для других дифференциальных уравнений математической физики в частных производных. Поэтому здесь достаточно только упомянуть о работах Зоммерфельда, а также о других работах, в которых используется идея римановой поверхности [33—36].
Мы возвратимся к задаче с клином в § 14, гл. XIV и покажем, что решение (113) предыдущего параграфа для угла 
справедливо для клина с любым углом раствора 
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
