§ 6. Осесимметричные задачи о замерзании и плавлении
Несмотря на важность подобных задач в ряде случаев (например, намерзание льда на цилиндрические трубы), общие данные по этому вопросу очень скудны.
Мы рассмотрим здесь только случай, когда поверхностью раздела между твердой и жидкой фазами служит поверхность 
причем область 
содержит жидкость с термическими коэффициентами 
а область 
твердое тело с термическими коэффициентами 
Тогда, если 
температуры в этих двух областях, а 
температура плавления, то граничные условия при 
запишутся в виде
I. Решение для случая непрерывного линейного источника, расположенного вдоль оси 
Используя фундаментальное решение (5.1) предыдущего параграфа, можно точно показать (как и в примере I § 2 данной главы), что дифференциальные уравнения и граничные условия (6.1) и (6.2) удовлетворяются функциями
где
а 
корень уравнения
При 
следовательно, вначале вся область 
заполнена жидкостью с температурой 
При 
Таким образом, это решение совпадает с решением для случая замерзания при непрерывно действующем линейном стоке, расположенном вдоль оси, который при 
отбирает в единицу времени количество тепла, равное 
Оно является единственным простым точным решением, имеющимся для цилиндрической области [25, 28].
II. Область 
в начальный момент представляет собой жидкость, находящуюся при температуре плавления 
поверхность 
поддерживается при нулевой температуре.
Для данного случая точного решения нет. Важное приближенное решение можно получить, как и в § 2 данной главы (см. соотношение (2.20)), предположив, что распределение температур в твердом теле совпадает с распределением стационарного типа, т. е. что
Подстановка этого соотношения в (6.2) дает
Интегрируя, получаем
Уравнение (6.10) действительно служит достаточно хорошим приближенным выражением для положения поверхности раздела при 
например в случае замерзания воды. Второе приближение найдено Пекерисом и Слихтером [29], которые воспользовались методом разложения в ряд. Они показали, что ряд
где 
являются функциями только 
удовлетворяет дифференциальному уравнению для радиального потока тепла. Затем этот ряд подставляют в граничные условия и определяют 
метолом последовательных приближений. Случай затвердевания в области внутри цилиндра 
можно рассмотреть аналогичным образом. Были найдены также решения в виде рядов для случая, когда поверхность раздела движется с постоянной скоростью [21].
ЛИТЕРАТУРА
(см. скан)
