Пусть исследуемое тело продолжено в отрицательном направлении оси х и пусть его начальная температура в точке 
равна 
а начальная температура в точке х равна 
При таком распределении температур температура плоскости 
остается равной нулю. Тогда из соотношения (2.1) получим
Ясно, что эта величина 
удовлетворяет всем условиям задачи о полуограниченном твердом теле, ограничивающая плоскость которого поддерживается при нулевой температуре.
Выражение (4.1) для температуры можно преобразовать, как и в § 2, следующим образом:
в форму, подсказываемую соотношением (3.8). Так же как и в § 3 (неограниченное тело), этот результат легко получить и в данном случае, используя синус-преобразования Фурье (3.9) и (3.10).
Если начальная температура постоянна и равна V, то соотношение (4.1) можно упростить, подставляя 
в первую его часть, во вторую. Тогда мы получим
Этот интеграл совпадает с (1.3) данной главы, и поэтому решение задачи о полуограниченном твердом теле, поверхность которого поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура равна V, имеет вид
Полученный результат можно вывести непосредственно из выражения (1.3), так как из свойств функции ошибок следует, что она удовлетворяет нашему дифференциальному уравнению, а также начальным и граничным условиям.
Важно отметить, что в этом случае, т. е. в случае постоянной начальной температуры и нулевой температуры поверхности, полученный результат (4.3)
зависит только от одного безразмерного параметра
Это позволяет легко сравнивать температуры в различные моменты времени и в различных точках твердых тел, обладающих различной температуропроводностью. Аналогичные результаты справедливы и для часто встречающихся величин скорости охлаждения и градиента температуры в любой точке.
Скорость охлаждения в любой точке записывается в виде
Температурный градиент в любой точке — в виде
Рис. 5. Графики функции 
(кривая I) и функции 
(кривая II).
Переходя к параметру 
получим
Численные значения этих величин приведены в приложении 2; кроме того они показаны в виде кривых I и II на рис. 5. Кривая II имеет максимум равный
Из соотношения (4.7) следует, что для любого вещества время, необходимое для достижения заданной температуры в какой-либо точке тела пропорционально квадрату расстояния этой точки от поверхности тела. Кроме того, время, необходимое для достижения в данной точке заданной температуры, обратно пропорционально температуропроводности.
Например, из рис. 5 или из таблицы приложения 2 следует, что
В серебре, для которого 
температура достигает указанной величины на глубине 1 см через 0,64 сек; в висмуте, для которого 
это произойдет через 15,7 сек, а в грунте, для которого 
череа 234 сек. Для глубины 10 см соответствующие промежутки времени окажутся в 100 раз больше.
Наконец, мы приведем некоторые результаты, имеющие большое значение для практики. Их легко получить из соотношения (4.1).
1. Если на границе 
поддерживается постоянная температура V, а начальная температура равна нулю, то
Это легко получить, вычтя из 
прет 
которое является решением дифференциального уравнения теплопроводности, решение (4.3) для начальной температуры V и нулевой температуры поверхности.
Тепловой поток на поверхности равен
причем при 
это выражение стремится к бесконечности.
2. Если в начальный момент времени область 
имеет постоянную температуру V, а область 
нулевую температуру, то
3. Если в начальный момент времени область 
имеет температуру 
а плоскость 
поддерживается при нулевой температуре, то
4. Если в начальный момент времени область 
имеет постоянную температуру V, а область 
нулевую температуру, причем для 
поверхность 
сохраняет нулевую температуру, то
5. Если в начальный момент времени область 
имеет постоянную температуру V, а области 
нулевую температуру, причем для 
поверхность 
сохраняет нулевую температуру, то
и простирается до бесконечности в положительном направлении оси х, причем его начальная температура задана соотношением 
а плоскость 
поддерживается при нулевой температуре. Решение такой задачи можно получить из решения, найденного для неограниченного твердого тела.
