2-3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ, ИХ УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

а) Звено второго порядка

Поведение большого числа элементов автоматических устройств можно достаточно точно описать линейным уравнением второго порядка типа (2-17) и вытекающими из него вырожденными уравнениями первого и нулевого порядков.

Уравнением второго порядка описывается широкий класс механических, электрических и электромеханических колебательных устройств и цепей. На рис. 2-7 показаны модели передающих элементов механической колебательной системы и электрического колебательного контура. Груз массы (рис. 2-7,а) (Перемещается в жидкости (вязкое трение) и центрируется в среднем положении пружинами с линейной характеристикой. Входная величина системы — сила приложенная к грузу, выходная — перемещение груза х. Уравнение движения системы имеет следующий

где коэффициент вязкого трения; -жесткость пружины.

Рис. 2-7. Механическая (а) и электрическая (б) модели колебательного контура.

Как видно, уравнение (2-29) такое же, как уравнение центробежного измерителя (2-17).

Электрический колебательный контур (рис. 2-7,б) представляет собой электрическую цепь, состоящую из последовательного соединения омического сопротивления емкости С и индуктивности Цепь подсоединена к генератору с э. д. с. . Генератор имеет весьма малое внутреннее сопротивление. Электродвижущая сила -входная величина (входной сигнал) цени. Напряжение на конденсаторе «с будем считать выходным сигналом цепи.

Найдем уравнение цепи или контура, используя понятия о символических сопротивлениях. Напряжение на емкости равно току цепи, умноженному на символическое (операторное) сопротивление

где — символическое сопротивление всего контура. Умножая обе части (2-30) на получаем уравнение контура

или

Динамические процессы в механической колебательной системе и электрическом контуре будут, очевидно, аналогичными, поскольку они описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями (2-29), (2-31). Очевидно, что любые другие системы, описываемые полным уравнением второго порядка, будут иметь аналогичные динамические свойства. Это обстоятельство позволяет ввести обобщенное нонятие о динамическом звене второго порядка. Итак, любая система, описываемая уравнением

будет именоваться звеном второго порядка. При комплексных корнях, когда звено второго порядка называется колебательным звеном.

Уравнение звена второго порядка принято записывать в двух формах. Первая форма:

где - постоянная времени; относительный коэффициент затухания; коэффициент усиления звена.

Вторая форма:

где частота собственных колебаний звена. Незатухающие собственные колебания с этой частотой могут иметь место в звене при (для механической системы при для электрического контура — при ). Заметим, что колебательное звено при иногда называют консервативным звеном.

Для механической колебательной системы

Для электрического колебательного контура

Передаточная функция звена второго порядка

имеет два полюса

При оба полюса будут комплексными сопряженными

При оба полюса сливаются в один полюс второй кратности

Расположение полюсов на комплексной плоскости для различных и показано на рис. 2-8. При и изменении оба полюса перемещаются вдоль лучей и Лучи проходят под углом к отрицательной вещественной полуоси. При и изменении от до 1 полюсы от точек перемещаются по дуге окружности радиуса к точке

Рис. 2-8. К выяснению связи между расположением полюсов и значениями коэффициента затухания и частоты собственных колебаний колебательного звена.

В точке оба полюса сливаются в один двукратный. При дальнейшем увеличении оба полюса, двигаются вдоль отрицательной вещественной полуоси: один — к нулю, другой — к .

Вырождение отдельных свойств звена второго порядка дает еще три элементарных динамических звена.

б) Инерционное звено

Если масса механической (системы или индуктивность электрической цепи малы, то уравнения (2-17), (2-29), (2-31) вырождаются в уравнения первого порядка

Звено, передающие свойства которого описываются полным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами, называется инерционным (апериодическим) звеном. Типовая форма уравнения инерционного звена

где постоянная времени звена; коэффициент усиления.

Положив в механической системе массу равной нулю, мы тем самым допускаем возможность скачка скорости при мгновенном воздействии силы . В электрической цепи без индуктивности будет скачок тока при включении цепи на напряжение . В действительности ни масса ни индуктивность цепи не могут быть равными нулю, поэтому не может быть ни скачка скорости механической системы, ни скачка пока в электрической цепи. Возможны только весьма быстрые нарастания того, и другого в короткий промежуток времени, которые мы аппроксимируем скачком, заменяя уравнение

второго порядка уравнением первого порядка.

Передаточная функция инерционного звена

имеет один полюс

в) Интегрирующее звено

Уравнение интегрирующего звена записывается в двух видах;

и

где коэффициент усиления звена.

Двигатели и сервомоторы или являются интегрирующими звеньями, или содержат интегрирующее звено среди звеньев, которыми аппроксимируются их динамические свойства. Это происходит потому, что угол поворота вала двигателя есть всегда интеграл скорости вращения. У интегрирующего звена выходная величина пропорциональна интегралу входной величины:

Передаточная функция звена

имеет один полюс, равный нулю.

г) Усилительное звено

Оно получается из инерционного (2-34) при Уравнение усилительного звена

где коэффициент усиления, алгебраическое, такое же как уравнение статической связи. Это значит, что усилительное звено не имеет динамической ошибки и производит усиление, передачу и преобразование мгновенных величин без искажений и запаздываний.

д) Звено с постоянным запаздыванием

Существуют передающие звенья в системах автоматического управления (трубопроводы в гидравлических системах, электрические длинные линии, реле как усилители и т. п.), которое на выходе входной сишал без искажений, за исключением того, что все значения выходного сигнала запаздывают на время по отношению к входному сигналу. Иными словами, выходной сигнал (при повторяет входной сигнал со сдвигом вдоль оси времени на величину т. е.

при этом

Для определения передаточной функции звена найдем преобразование Лапласа выходной величины:

где

Передаточная функция как отношение будет иметь вид:

В заключение следует еще раз отметить, что представление реальной динамической системы посредством элементарных звеньев, также как и описание движения этой системы уравнениями, никогда не бывает абсолютно точным и однозначным. В зависимости от исследуемого процесса одна и та же система может отображаться с разной степенью точности различной совокупностью элементарных звеньев.