10-6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

а) Виды интегральных оценок

Интегральные оценки представляют собой определенные интегралы (в пределах от до ) от функций времени характеризующих течение переходных процессов в системе. Функции должны быть абсолютно интегрируемыми величинами. В качестве функции времени могут быть взяты: импульсная переходная функция переходная составляющая ошибки их производные и т. п. Находят применение линейные интегральные оценки

где переходная составляющая ошибки, и квадратичные интегральные оценки

где V — некоторая квадратичная форма переменных системы. Интеграл представляет собой площадь под кривой переходного процесса (рис. 10-36,а), интеграл площадь под кривой (рис. Оба интеграла могут служить относительной мерой длительности процесса. Чем меньше тем (быстрее заканчивается процесс. При этом очевидно, что оценка пригодна только для монотонных процессов, а как для монотонных, так и для немонотонных.

Интегральные оценки, как аппарат исследования качества процессов регулирования, разработаны в основном в трудах советских ученых.

Линейные интегральные оценки которые иногда называются моментами порядка функции пропорциональны коэффициентам разложения в ряд по степеням изображения . В самом деле, известно, что

Рис. 10-35. Графическое представление интегральных оценок

где Следовательно, при получаем:

Если

то

и, следовательно, линейные интегральные оценки пропорциональны коэффициентам ошибок, т. е.

б) Оценка и ее вычисление

Сопоставляя с изображением равным находим, что

Изображение произведения двух функций ( связано с их изображениями следующим образом:

Если одно из изображений — дробно-рациональная функция имеющая простых полюсов, то

Если все полюсы находятся слева от мнимой оси, то в (10-88) можно положить тогда

При полагая в находим выражение для

представляет собой изображение Фурье функции Выражение (10-91) носит название формулы Релея.

Если импульсная переходная функция системы регулирования: то соответственно

1 Если то соответственно

или при

На основе выражения (10-91) можно вычислить

тем построения графика квадрата амплитудной характеристики [например, и графического интегрирования.

Выражение (10-89) позволяет вычислить при, известных полюсах

Полагая

и , находим:

Вычисления по формуле (10-92) требуют знания корней характеристического уравнения и даже при известных корнях представляют собой трудоемкую операцию. Гораздо больший интерес

представляют формулы, связывающие с коэффициентами передаточной функции или изображения [10-2] вычислены интегральные оценки в функции коэффициентов изображения

В [Л. 10-7] получены формулы для вычисления с помощью определителей, составленных из коэффициентов изображения Эти формулы могут быть представлены в следующем виде. Если то

где определитель А равен старшему определителю Гурвица:

Определитель получается из А заменой столбца столбцом

Если

где

имеют прежние значения.

Оценка может служить относительной мерой быстродействия системы. Полученное для какого-либо процесса численное значение ни о чем еще не говорит. Если же при двух каких-либо значениях параметров будут найдены значения то меньшее из этих значений будет соответствовать более быстро протекающему процессу. В связи с этим оценку обычно используют следующим образом: находят по формуле (10-04) оценку в функции параметров и ищут значения параметров, обращающие оценку в минимум. Если то минимальное значение соответствует наилучшему приближению переходной функции к ступенчатой функции в том смысле, что квадрат разности площадей между этими функциями минимален.

Пример 1. Определить коэффициент затухания К для системы второго порядка, при котором минимален для двух видов передаточной функции

По формуле (10-95)

приравнивая находим

По формуле (10-95) Оценка не имеет минимума и падает с ростом

Пример 2. Найти значения коэффициентов в системе третьего порядка с передаточной функцией минимально.

по формуле (10-95)

Приравнивая нулю частные производные по

найдем

в) Оценки

Из рассмотренных примеров видно, что система, удовлетворяющая минимуму в ряде случаев имеет слишком колебательные переходные процессы. Это вынуждает использовать другие квадратичные формы и, в частности, оценки

Рассмотрим сначала оценку которую можно записать в виде:

Очевидно, оценка будет наименьшей, когда т. е. тогда, когда

Это значит, что коэффициентам уравнения или по другим параметрам системы является своеобразным критерием наилучшего приближения исследуемого процесса к экспоненте с постоянной времени Напомним, что это критерий приближения процесса к ступенчатой функции

Оценки соответственно являются критериями приближения кривой к решениям уравнения порядка Оценка записывается в виде:

Возведя в квадрат подынтегральный многочлен в правой части и интегрируя по частям произведения производных при условии, что

получаем:

где введено для симметрии формул. Наименьшее значение

наступает, когда есть решение уравнения

при

Коэффициенты оценки определяются по заданным значениям коэффициентов желаемого уравнения с помощью (10-96).

Оценка вычисляется как сумма

где

Для вцчисления находят изображение и используют формулы (10-94), (10-95).

Пример. Найти коэффициент затухания К в системе второго порядка при котором оценка минимальна:

откуда