б) Системы, оптимальные по быстродействию. Принцип максимума

Ограничения оказываются препятствием решения вариационных задач классическими методами. Для решения задач с ограничениями и определения оптимальных процессов управления в последние Понтрягиным была предложена математическая теория оптимальных процессов (принцип максимума) и Беллманом — теория динамического программирования. О динамическом программировании, будет упомянуто в гл. 21. Здесь остановимся вкратце на принципе максимума [Л. 17-16]. Представим уравнения (17-145) в более общем виде:

или в более компактной (векторной) форме:

где X — вектор с компонентами вектор с компонентами вектор с компонентами

Функции предполагаются непрерывными функциями аргументов и непрерывно дифференцируемыми по этим аргументам.

Уравнения (17-149) или можно рассматривать как уравнения объекта регулирования с регулирующими органами. Совместно с регулятором такой объект регулирования представляет собой -мерную систему автоматического регулирования. Будем считать, что уравнения (17-149) или (17-150) охватывают также координаты регулятора, которые описываются дифференщиальными уравнениями. В частности, они могут включать в себя уравнения сервомоторов, приводящих в движение регулирующих органов. этом случае выбор закона управления (или просто управления) на разомкнутой схеме

будет означать выбор U как функцию времени:

или

Для управления по замкнутой схеме необходимо определить все как функции координат и в общем случае также как функции всех остальных координат т. е. найти

или в векторной форме

Рассмотрим возможность реализации оптимального управления при условии, что все сигналы управления ограничены, т. е.

Это означает, что вектор который необходимо определить, должен лежать внутри и на границах -мерного многогранника. Зададимся функцией

и будем считать целью управления перемещение изображающей точки с координатами в -мерном фазовом пространстве в положение

Требуется теперь найти оптимальное управление, т. е. такой вектор при условиях (17-155), который функционал

обращает в минимум. Если положить

то

и, оптимальное управление будет означать минимальное время перехода изображающей точки из положения в положение и соответственно максимальное быстродействие системы.

При когда минимум (17-158) означает минимальное время переходного процесса, т. е. процесса, при котором изображающая точка из начального положения переходит в начало координат.

Приведем теорему [Л. 17-16], которая носит название принципа максимума для случая максимального быстродействия, когда . В дополнение к системе уравнений (17-149) рассмотрим еще систему уравнений для вспомогательных переменных

При выбранном станот вится известным и этом случае (17-159) представляет собой однородную систему линейных дифференциальных уравнений. Введем функцию, определенную следующим образом:

где — вектор с компонентами

Используя функцию можно уравнения (17-149) и (17-159) записать в виде уравнений Гамильтона

При фиксированных функция зависит от сигналов управления . При этом наибольшее значение обозначим т. е.

Теорема, названная принципом максимума, сводится к следующему: если есть оптимальное управление

Рис. 17-71 Фазовые траектории для системы, оптимальной по быстродействию (пример 1).

переводящее изображающую точку в фазовом пространстве из положения в положение за минимальное время то в этом случае:

1. Для всех функция переменного достигает в точке максимума

и в конечный момент выполняется соотношение

2. Далее, если при этом удовлетворяют системе (17-161) и (17-162) и условию 1 теоремы, то переменного постоянно и проверку соотношения (17-165) можно проводить для любого

Рассмотрим простые примеры, когда функции линейны,

Пример 1. Дано

Обозначив получим:

Функция для этого примера будет иметь вид:

Уравнения для вспомогательных переменных:

Отсюда

и следовательно,

Так как при оптимальном управлении функция принимает максимальное положительное значение, то очевидно, что второе слагаемое должно быть всегда положительным и наибольшем. Это будет, если

Поскольку может один раз изменить свой знак, весь оптимальный процесс перемещения изображающей точки из любого положения в любое положение X, может быть осуществлен при двух предельных значениях управляющего сигнала: Таким образом, оптимальная по быстродействию система оказывается системой релейной. В данном случае линейная часть релейной системы будет иметь передаточную функцию вида Релейная система с такой линейной; частью уже рассматривалась (уравнения (17-78) и Выходная координата этой системы изменяется в функции времен по параболическому закону, скорость по линейному закону. Фазовые траектории в плоскости представляют собой параболы. На рис. 17-76 нанесено семейство парабол в плоскости для (сплошные линии) и для (пунктирные линии). Непосредственно видно, что из любой точки на фазовой плоскости можно перейти в любую другую точку на рис. 17-76) по двум отрезкам парабол. При этом согласно принципу максимума на этот переход будет затрачено минимальное время. Для перехода из любой точки в начало координат, как уже указывалось

Рис. 17-77. Фазовые траектории для системы, оптимальной по быстродействию (пример 2).

выше, служат параболы (или линии переключения)

Пример 2. Пусть уравнения системы с одним управляющим параметром имеют вид:

где

Исключение этих уравнений координаты показывает, что объект управления с выходной координатой имеет передаточную функцию

Функция в данном случае

Дополнительные переменные получаются такими же, как и в предыдущем примере, поэтому

Как и в предыдущем случае, для придания максимального и положительного значения и должно принимать два значения: Из решейия уравнений при находим уравнение фазовых траекторий для этого случая:

Фазовые траектории представляют собой семейство парабол, оси симметрии которых параллельны оси При ось симметрии расположена ниже оси на расстоянии а при ось симметрии расположена выше оси также на расстоянии Семейство фазовых траекторий Для показано на рис. 17-77. Для перехода из любой точки на фазовой плоскости в начало координат при оптимальном управлении служат фазовые траектории (линии переключения) Фазовая траектория из любой начальной точки, «наткнувшись» на траектории или далее по ним устремляется в начало координат. Как видно из течения траекторий переходный процесс (например, при ) будет всегда с перерегулированием Здесь, как и в линейной системе, причиной перерегулирования является нуль передаточной функции объекта управления, равный —

Пример 3. Уравнение объекта регулирования задано в виде:

Полагая представим его в виде двух уравнений рервого порядка:

Тогда

Рис. 17-78. Переходные процессы в системе (пример 2).

Так как должно быть положительным и максимальным, то второе слагаемое в последнем выражении также должно быть всегда положительным и максимальным, а это возможно, если

Функция, заключенная в квадратные скобки, может только один раз изменить свой знак, поэтому перемещение за минимальное время из любой точки фазовой плоскости в любую другую точку и в том числе в начало координат производится при двух значениях управляющего сигнала: или —

Рассмотренные примеры позволяют сделать следующие выводы:

1. Максимальное быстродействие для случая линейного объекта регулирования всегда получается при релейном регуляторе.

2. Во всех рассмотренных примерах перевод изображающей точки из любого положения в любое другое положение по свойственным системе фазовым траекториям происходит при двух предельных значениях управляющего сигнала или за одно переключение реле. Заметим, что порядок дифференциального уравнения объекта был равен также двум.

3. Синтез регулятора или управляющей части системы во всех трех примерах не осуществлен, т. е. не найден закон или Иными словами, не установлены закономерности переключения реле в функции координат или функции времени.

Первый вывод справедлив для любых линейных объектов управления и любого числа ограниченных по модулю управляющих воздействий . Иными словами, оптимальная по быстродействию система с линейным объектом — система всегда релейная. Число релейных элементов равно числу мерности системы При функционировании системы вектор с компонентами всегда перемещается по поверхностям граней -мерного многогранника.

Второй вывод применительно к одномерным системам также имеет более общее значение. Если характеристическое уравнение системы линейных уравнений объекта не имеет ни комплексных (а также ни чисто мнимых) "ни положительных действительных корней, то в оптимальной по быстродействию системе за время переходного процесса управляющий сигнал раз меняет свой знак. Эта теорема принадлежит А. А. Фельдбауму (теорема об интервалах) ] и доказана им ранее формулировки принципа максимума.

Третий вывод также имеет более общее значение в том смысле, что синтез управляющей части оптимальной системы является самостоятельной задачей, решаемой отдельно для каждого конкретного случая. Так, для первого и третьего примеров синтез управляющей части был уже произведен (см. уравнения (17-85), (17-86) и далее]. Что касается второго примера, то и в этом случае для синтеза управляющей части системы автоматического регулирования необходимо найти уравнение линий переключения (рис. 17-77). Обозначая в уравнениях (17-167) как как у, из выражения (17-168) находим (при

уравнение линии переключения

Следовательно, если

и

если

Отсюда получаем выражение для управляющего сигнала:

или

где

Структурная схема системы регулирования для этого мучая приведена на рис. 17-79. На схеме видно, какие вычислительные операции реализуются в управляющей части или регуляторе оптимальной системы.

Схему регулятора можно существенно упростить, если «место выходной величины измерять величину связанную с входной величиной уравнением

Рис. 17-79. Структурная схема оптимальной системы (пример 2). операция возведения в квадрат; операция умножения; определение внака.

Рис. 17-80. Структурная схема оптимальной системы при упрощенной схеме регулятора.

Заменив в выражении (17-169) переменные лгилгнаги и имея в виду, что получим:

Структурная схема для этого случая приведена на рис. 17-80. Управляющая часть получилась точно такой же, как и в первом примере, когда передаточная функция объекта представляла собой двойное интегрирующее звено.

Из этого упрощения вытекает весьма важный вывод о том, что синтез управляющей части для линейного объекта с упомянутыми ограничениями на полюсы передаточной функции .можно осуществлять, не обращая внимания на нули передаточной функции объекта. Нули передаточной функции объекта окажут влияние только на форму переходного процесса при оптимальной управляющей части, синтезированной при условии, что все нули передаточной функции были приняты равными бесконечности. Этот вывод подтверждается также тем обстоятельством, что нули передаточной функции всегда могут быть заменены эквивалентными начальными условиями. Правильно же синтезированная управляющая система приводит изображающую точку в начало

координат при любых начальных условиях.

Следует отметить, что синтез управляющей части оптимальных по быстродействию систем представляет собой довольно трудную задачу при высоком порядке линейного уравнения объекта управления. В отечественной литературе синтез управляющей части оптимальных по быстродействию систем регулирования рассматривался в работах А. А. Фельдбаума [Л. 17-17], А. Я. Лернера [Л. 17-18] и других авторов.