г) Свойство эргодичности

Помимо свойства инвариантности статистических характеристик по отношению к сдвигу во времени для стационарных случайных процессов важное значение имеет другое свойство — свойство (эквивалентности среднего по (времени среднему по множеству. Это свойство носит название эргодичности и формулируется следующим образом.

Пусть имеется случайная функция Говорят, что эта функция обладает свойством, эргодичности, если для любой из множества реализаций этой функции за исключением, быть может, реализаций с нулевой вероятностью, математическое ожидание произвольной функции равно среднему по времени той же функции

Математическое ожидание есть среднее по множеству. Поэтому кратко эргодическое свойство можно формулировать так: для процесса, обладающего эргодическими свойствами, среднее по множеству реализаций равно среднему сто времени для одной реализации.

Практически это означает, что для эргодического стационарного процесса все усредненные характеристики (математические ожидания, дисперсии и т. п.) одинаковы для всех реализаций и эти реализации могут быть заменены одной реализацией, достаточно продолжительной во времени. Для определения характеристик стационарной эргодической случайной функции можно ограничиться одним опытом, осуществляемым (в течение достаточно большого интервала времени, вместо множества опытов, необходимых для определения характеристик неэргодического процесса.

Среднее значение, средний квадрат и корреляционная функция для стационарной эргодической функции выражаются формулами

где под знаком интеграла фигурирует реализация, а в выражении -случайная функция полагается центрированной.

Основой для предположения о наличии эргодичности обычно служат физические соображения, и это предположение часто именуется эргодической гипотёзой.

Не всякай стационарная случайная функция является эргодической. Например, случайная функция, каждая реализация которой постоянна (не зависит от времени), является стационарной, но не эргодической.

Соотношения (112-8) удобны для вычисления характеристик стационарной эргодической случайной функции, так как они позволяют ограничиться обработкой одной реализации случайной функции.

Обработка реализации может осуществляться численным ручным или машинным способом или непрерывным машинным способом. При численном способе интегралы в правых частях равенства заменяются суммами, например

Рис. 12-4. Схема коррелятора эргодического процесса.

где достаточно малый интервал. Таким путем определяется среднее значение попарных произведений ординат кривой реализации, отстоящих на интервал и взятых через интервалы То.

Непрерывный способ вычисления корреляционной функции эргодического процесса реализуется в специальных приборах—корреляторах. Общая схема коррелятора для центрированной случайной функции представлена на рис. 12-4. Реализация случайной функции в виде некоторой физической величины подается на звено задержки 1 (запаздывающее звено). Звено 1 обеспечивает сдвиг во времени который может изменяться в достаточно широких пределах, начиная с «Задержанное» и незадержанное значения случайной функции поступают на множительное звено 2, где перемножаются. Выходная величина поступает на сглаживающее устройство 3, пропускающее постоянную составляющую и весьма медленно изменяющиеся составляющие указанного произведения. Таким образом, на выходе сглаживающего устройства коррелятора выделяется приближенное значение корреляционной функции