17-2. АВТОКОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

а) Основные понятия теории колебаний

Автоколебания — явление, свойственное только нелинейным "системам, и сам термин «автоколебания» относится к теории нелинейных колебаний. Теория нелинейных колебаний создана в основном трудами советских ученых. В основе этой науки лежат работы ученых школы академиков Мандельштама и Папалекси. Теория колебаний изложена в монографиях А. А. Андронова, А. А. Витта, С. Э. Хайкина [Л.16-2], Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова [Л. 17-12], В. Б. Булгакова [Л. 16-1], И. Г. Малкина [Л. 17-11].

Задачи, рассматриваемые в теории линейных колебаний, сводятся в частном случае к изучению, процессов в колебательном звене

Соответственно в теории нелинейных колебаний исследуются интегралы уравнения

или в более общем виде

В (17-27) сила сопротивления является нелинейной функцией скорости. На наличие такой силы указывает аргумент х функции в уравнении (17-28). Упругая сила нелинейная функция отклонения или перемещения х.

Уравнения (17-27) и (17-28) описывают колебания в самых различных физических системах (ламповый генератор, релейные и другие виды нелинейных систем автоматического регулирования, большие колебания. маятника и т. п.).

Если или зависимость от функции отсутствует, то система называется автономной. В автономной системе колебания, возникшие в результате ненулевых начальных условий, называются свободными колебаниями. В такой системе для линейной системы и для нелинейной характеризуют мгновенный запас потенциальной энергии. Величина является кинетической энергией.

Члены если они положительны, указывают на рассеяние начального запаса энергии системы во внешнюю среду. Напротив, если члены отрицательны, то это указывает на пополнение энергии системы извне. Если члены равны нулю, то система называется консервативной, так как ее общее количество энергии, полученное при начальном возмущении, в процессе колебаний остается неизменным. При происходит пополнение или убыль энергии системы (диссипация энергии) и система называется диссипативной.

Если одним из решений (17-26), (17-27), (17-28) является периодическая функция

где период колебаний, то говорят, что уравнение имеет периодическое решение. Периодические колебания [колебания, удовлетворяющие условию (17-29) бывают вынужденными и собственными. Собственные колебания — это колебания автономных систем. Вынужденные колебания происходят под действием пёриодической возмущающей силы

В линейной системе собственные (или свободные) периодические колебания могут быть, если только система консервативна. В диссипативных линейных автономных системах второго порядка колебания описываются функциями

которые не являются периодическими [не удовлетворяют условию (17-29)].

В отличие от линейных систем в нелинейных диссипативных системах возможны собственные периодические колебания, которые акад. А. А. Андронов назвал автоколебаниями.

Андронов ввел также в теорию "колебаний представления о фазовом пространстве, об особых точках решения дифференциальных уравнений — понйтия, широко применяющиеся в качественной теории дифференциальных уравнений. Наполнение этих абстрактных математических понятий физическим содержанием было большой заслугой А. А. Андронова и его школы.

Далее (§ 17-2 и 17-3) будем иметь в виду нелинейные системы, описываемые уравнением второго порядка (17-28), когда динамические процессы в стстеме могут быть отображены на фазовой плоскости. Для автономной системы, обозначив скорость запишем (17-28) в виде двух уравнений первого порядка:

или в более общем виде:

где нелинейные функции скорости у и отклонения х.

Уравнение фазовых траекторий в плоскости х, у получается из (17-30) делением первого уравнения на второе:

Положение изображающей точки на фазовой плоскости можно определить радиусом-вектором Соответственно скорость движения изображающей точки или фазовая скорость будет равна:

Когда фазовая скорость система оказывается в положении равновесия, так как и скорость, и ускорение равны нулю.

В состоянии равновесия или в более общем случае где а — зона нечувствительности (табл. 16-1 и 16-2). Поскольку в состоянии равновесия и там выполняются условия:

Из решения уравнений (17-31) получаем значения точек с координатами х, у, которые называются особыми точками дифференциального уравнения (17-30а). Как уже указывалось, физически особая точка означает состояние равновесия системы. Для выяснения устойчивости состояния равновесия и поведения фазовых траекторий в окрестности особой точки (можно воспользоваться (уравнениями первого приближения

где

Уравнения (17-32) справедливы в случае функций

представляемых в виде рядов, и положения равновесия в начале координат, когда Они огут быть записаны в виде одного уравнения второго порядка

Корни характеристического уравнения

определяют все виды фазовых траекторий около особой точки и позволяют произвести классификацию этих точек. х

Возьмем случай консервативной системы, когда В этом случае

При начальных условиях решение уравнения (17-32а) имеет вид:

что указывает на гармонические изменения отклонения и скорости.

В то же время (17-326) можно рассматривать как параметрические уравнения фазовой траектории. Исключая получаем уравнение эллипса:

Это же уравнение эллипса получается из решения дифференциального уравнения фазовых траекторий

при тех же начальных условиях.

Изображающая точка на фазовой плоскости будет все время перемещаться по одному и тому же эллипсу с полуосями Как известно, по гармоническому закону, колеблется груз между пружинами без трения и — ток в колебательном контуре без сопротивления.

На рис. 17-5 показаны состоянии механической и электрической цепей и соответствующие положения изображающей точки на эллипсе. Координата х обозначает перемещение груза и напряжение на конденсаторе или его заряд, координата у — скорость перемещения груза и ток в колебательном контуре.

При периодических колебаниях изображающая точка всегда описывает на фазовой плоскости замкнутую кривую. При синусоидальных колебаниях такой кривой будет эллипс. Период обращения изображающей точки по замкнутой кривой, очевидно, равен периоду колебаний системы.

В консервативной системе размеры замкнутой кривой, в данном случае эллипса, определяются начальными условиями. Множество эллипсов на фазовой плоскости, соответствующее множеству начальных условий, образует фазовую картину или фазовый портрет движения системы. Начало координат является вырожденным эллипсом. Эта особая точка дифференциального уравнения (17-32а)

Рис. 17-5. Фазовые траектории и схемы реализации консервативной системы по уравнению

есть положение равновесия системы. Запас энергии в системе при отсутствует. Особая точка в начале координат, окруженная множеством замкнутых циклов, определяемых начальными условиями, называется особой точкой типа центра.

Если взять устойчивую (неконсервативную) колебательную систему, когда то решения уравнений (17-32) будут иметь вид затухающих синусоидальных колебаний. Поскольку амплитуды отклонения х и скорости у будут убывать экспоненциальному закону, фазовый траектории будут представлять собой семейство логарифмических спиралей, стягивающихся к началу координат. Изображающая точка, приближаясь к началу координат, будет замедлять свою фазовую скорость. Так как колебания затухают при то Изображающая точка лопадет в начало координат через бесконечно большой промежуток времени. Начало координат есть положение равновесия и особая точка уравнения. Очевидно, что положение равновесия асимптотически устойчиво. Все фазовые траектории при всех начальных условиях сходятся к особой точке. Такая особая точка называется устойчивым фокусом. Если же взять то амплитуды колебаний отклонения и скорости будут нарастать. Фазовые траектории будут теми же спиралями, но по ним изображающая точка будет удаляться от начала координат. Положение равновесия системы будет неустойчивым. Достаточно бесконечно малого начального отклонения, чтобы началось безграничное нарастание отклонения и скорости. Особая точка в этом случае носит название неустойчивого фокуса. Другие комбинации коэффициентов уравнений а следовательно, и другие виды корней характеристического уравнения приводят к еще нескольким типам фазовых картин и особых точек ], которые здесь не рассмотрены.

Характер движения и виды фазовых картин нелинейных систем гораздо разнообразнее, чем линейных. Здесь возможны автоколебания. Существование автоколебаний означает наличие в фазовом пространстве замкнутых кривых или циклов. В нелинейной системе может быть один или несколько автоколебательных режимов. Следовательно, в фазовой плоскости может быть несколько замкнутых кривых или циклов. Какой именно автоколебательный режим устанавливается в системе, зависит от начальных условий (т. е. от энергии, сообщенной системе в начальный момент). Автоколебания есть периодические колебания и они устанавливаются не сразу. Процесс установления автоколебаний можно сравнить с переходным процессом в линейной системе. Свободные колебания или переходный процесс в линейной устойчивой системе характеризуются семейством спиралей в фазовой плоскости, стремящихся к началу координат. В нелинейной системе процесс установления автоколебаний характеризуется семейством фазовых траекторий, стремящихся (или навивающихся) к замкнутой кривой или циклу. Эти замкнутые кривые или циклы называются предельными. Как точки равновесия линейной системы, так и предельные циклы нелинейной системы могут быть устойчивыми и неустойчивыми. В первом случае фазовые траектории навиваются на предельный цикл, во втором — свиваются с предельного цикла. Неустойчивый предельный цикл означает неустойчивые автоколебания. Они физически неосуществимы и являются просто одним из решений нелинейного уравнения системы. Устойчивый предельный цикл соответствует устойчивым, реально осуществимым автоколебаниям. Если имеется несколько предельных циклов, то неустойчивые и устойчивые циклы, как правило, чередуются. На рис. 17-6,а приведен пример неустойчивого положения равновесия, которое окружено устойчивым циклом 1, неустойчивым 2 и устойчивым 3.

На рис. 17-6, б устойчивое положение равновесия окружено неустойчивым циклом 1 и устойчивым 2.

Рис. 17-6. Чередование устойчивы и неустойчивых циклов.

В первом случае положение равновесия системы неустойчиво. При включении в ней устанавливается один из режимов автоколебаний. Другого установившегося состояния у системы быть не может, и она называется системой с мягким режимом возбуждения колебаний. К таким системам относятся некоторые виды ламповых генераторов и релейных систем автоматического регулирования.

Во втором случае, поскольку состояние равновесия устойчиво и окружено неустойчивым циклом, автоколебания установятся, если в результате начальных условий изображающая точка окажется вне неустойчивого цикла. В этом случае колебания в системе раскачаются до автоколебаний. Если изображающая точка в начальный момент окажется внутри неустойчивого цикла, то колебания затухнут, так как положение равновесия устойчиво. Система с такими свойствами называется системой с жестким режимом возбуждения. Типичным примером системы с жестким режимом возбуждения являются стенные часы (ходики). Часы «не пойдут», будучи заведенными, если отклонить маятник на недостаточный для возбуждения колебаний угол.

Многие виды ламповых генераторов и релейных систем автоматического регулирования имеют жесткий, режим возбуждения автоколебаний.

Отметим энергетическую сторону автоколебательных режимов. Устойчивая линейная система рассеивает всю свою начальную энергию и успокаивается в начале координат. Неустойчивая (при ) линейная система раскачивается и непрерывно потребляет энергию от какого-либо источника, причем, поскольку колебания увеличиваются, потребление энергии в единицу времени нарастает. Автоколебательная система в установившемся периодическом режиме всю энергию, полученную от источника за одну часть периода (илицикла), полностью рассеивает во внешнюю среду за другую часть цикла. Таким образом, потребление энергии от источника за период остается постоянным. Источником энергии для таких автоколебательных систем, как ламповые генераторы или релейные следящие системы, является соответствующий источник электрической энергии. Источником энергии для таких автоколебательных систем, как часы, служит закрученная пружина или поднятая на некоторую высоту гиря.