в) Точность экстремального регулирования

Для оценки влияния медленного изменения координат точки экстремума удобно рассматривать коэффициенты ошибок, аналогичные коэффициентам ошибок обычных следящих систем.

Вводя обозначения отклонений от точки экстремума уравнения (19-59) записываем в виде:

Влияние медленного «дрейфа» точки экстремума (член характеризуется коэффициентами «скоростных» ошибок, соответствующими уравнениям

Отсюда

Влияние случайных возмущающих воздействий можно оценить, как обычно, среднеквадратичными отклонениями каждой из координат.

Уравнения (19-63) при сделанных предположениях не зависят от являются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, и указанная задача статистической динамики решается изложенными в гл. 12 методами.

Рис. 19-21. Структурная схема системы экстремального регулирования, использующей случайные сигналы поиска.

Случайные функции условию независимы. Если сигналы поиска стационарные случайные функции, то средние квадраты отклонений координат, вызванных малыми колебаниями поиска, определяются выражением

где спектральная плотность случайной функции

Аналогично оцениваются отклонения, вызванные шумами Интегралы в формулах (19-65) могут быть выражены через коэффициенты передаточных функций (гл. 10 и 12). Однако для уравнений относительно высоких порядков эти выражения интегралов получаются громоздкими.

Значительно более простые выражения получаются для другой оценки точности экстремального регулирования, а именно математического ожидания разности Большинство систем экстремального регулирования обеспечивает равенство поэтому величина является естественной обобщенной оценкой точности экстремального регулирования. При Она совпадает с потерями на поиск.

Простое выражение оценка имеет в случае т. е. при отсутствии фильтров на выходе множительных звеньев синхронных детекторов. Действительно, из выражений квадратичной формы видно, что

С другой стороны, из уравнений (19-63) при следует:

Умножая это уравнение на применяя операцию математического ожидания и суммируя по при учете равенства находим:

Величины легко определяются. Для стационарных случайных процессов согласно выражению взаимной корреляционной функции входной и выходной величин имеем:

где весовая (импульсная переходная) функция между входом и выходом, т. е. функция, отображающая изменение при изменении по закону -функции; автокорреляционные функции соответственно. Интегралы

достаточно просто выражаются через коэффициенты уравнений (передаточных функций), соответствующих Поэтому если автокорреляционные функции можно аппроксимировать полиномами по х, то выражения (19-68) принимают достаточно простую конечную форму.

Если сигналы поиска близки к белому шуму, то

где спектральная плотность шумовых сигналов поиска.

Подставляя эти выражения в (19-68), получаем:

Аналогично можно показать, что

Непосредственно из вида исходных уравнений (19-63) следует, что значение выражающее реакцию координаты на импульсное воздействие на входе при равно

Из (19-66), (19-67), (19-69) и (19-70) следует, что оценка точности экстремального регулирования в рассматриваемом случае равна:

Как видно из выражения квадратичной формы, величина

равна среднему значению квадрата, функции при отклонениях (случайные функции по условию взаимно независимы).

Величина

т. е. равна математическому ожиданию отклонений экстремальной функции непосредственно за счет отклонений т. е. за счет колебаний поиска и шумов в разомкнутой системе. Вводя эти обозначения, получаем окончательно:

Это выражение позволяет оценивать точность непрерывного экстремального регулирования в рассматриваемом случае (отсутствие фильтров в цепях синхронных детекторов, сигналы поиска, близкие к белому шуму). Заметим, что по условию устойчивости системы [см. уравнение ] все коэффициенты усиления имеют один знак: для экстремума-минимум для экстремума-максимума. Из (19-71) следует, что чем меньше отношения характеризующие времена корреляции случайных сигналов поиска, тем меньше случайные ошибки экстремального регулирования при прочих равных условиях. Отсюда вытекает, что колебания поиска желательно в возможно большей степени приближать к белому шуму. Предел продвижения в этом направлении обусловливается инерционностью объекта, которая здесь не учитывается.

Формула (19-71) для одномерной системы с учетом принимает вид:

где математическое ожидание приращения экстремальной функции за счет непосредственного воздействия случайного сигнала-поиска.

Если т. е. случайные воздействия, кроме колебаний поиска, отсутствуют, то

и (19-72) приобретает вид:

где

При сек точность экстремального регулирования, выраженная в значениях составляет около

Изложенная теория и числовые расчеты позволяют утверждать, что в непрерывных системах экстремального регулирования с успехом могут использоваться случайные сигналы поиска.