б) Приближенное вычисление переходных функций и переходных процессов

В. В. Солодовников предложил метод приближенного вычисления переходных функций и переходных

процессов. В основе метода лежит приближенное вычисление интеграла (10-77). В первую очередь для вычисления необходимо иметь график вещественной частотной характеристики. График получается или вычислением или, если известна амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы, по номограммам рис. 7-21 и 7-27. Можно также использовать рассмотренный там же графический прием (рис. 7-26).

Построенный тем или иным путем график аппроксимируется ломаной. На рис. 10-21 построена вещественная частотная характеристика для системы с передаточной функцией:

Вещественная частотная характеристика аппроксимирована ломаной абвгде. Точки в, д и г ломаной соединяются далее прямыми с осью ординат. Теперь ломаную можно представить как алгебраическую сумму двух трапеций и одного треугольника.

Рис. 10-21. Представление вещественной частотной характеристики системы в виде суммы трапецеидальных вещественных характеристик.

Рис. 10-22. Трапецеидальная вещественная частотная характеристика.

Подобным образом можно приближенно представить в виде суммы трапеций или трапецеидальных вещественных частотных характеристик вещественную частотную характеристику любой устойчивой линейной системы. После представления в виде трапеций нетрудно вычислить интеграл (10-77). Каждая трапеция дает свою составляющую переходной функции. Алгебраическая сумма составляющих даст искомое значение

На рис. 10-22 приведена трапецеидальная вещественная частотная характеристика высоты с характерными частотами Пусть Рог, будут параметрами некоторой трапеции, тогда

После интегрирования

или

Рис. 10-23. Переходная функция, вычисленная по нормированным трапецеидальным характеристикам.

где символ интегрального синуса

Функция представляет собой переходную функцию, соответствующую нормированной трапецеидальной вещественной частотной характеристике, когда Графики для (прямоугольник) и (треугольник) приведены на рис. 10-23.

Для функции имеются таблицы (таблицы -функций — в конце книги). С помощью этих таблиц несложно вычислить переходные функции как сумму пере ходных функций для каждой трапеции

На рис. 10-24 приведен график переходной функции, вычисленный описанным образом для системы с вещественной частотной характеристикой, представленной на рис. 10-21.

Рис. 10-24. Точная и вычисленная методом трапецеидальных характеристик (приближенная) переходные функции (для случая рис. 10-21).

Пунктиром показана точная кривая переходной функции, построенная по формуле

Вычисление переходных функций по вещественной частотной характеристике позволило разработать систему оценок характера по виду . С помощью установлена также связь переходной функции с амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы [Л. 10-3, 2-4].