б) Автоколебания релейных систем

Исследуем релейную систему, схема которой дана на рис. 16-13,а. Поскольку речь пойдет об автоколебаниях, в уравнении системы (16-17) положим Рассмотрим также поведение системы без корректирующего сигнала тахогенератора, т. е. при Для удобства изменим масштаб времени и масштаб выходной величины х и ее производной Пусть

Заметим, что установившаяся скорость выходного вала следящей системы. Большей скорости у выходного вала быть не может. Выражение производных через новые переменные имеет вид:

Подставив значения, производных в (16-17) и опустив черточки над

новыми переменными, получим уравнение в безразмерной форме:

Напомним, что кроме того, поскольку релейные функции, приведенные в табл. 16-2, нечетные, релейная функция может иметь три постоянных значения: и —1 в зависимости от величины х. Имея в виду, что на отдельных участках постоянна, введем обозначение где постоянная х может соотбетственно принимать значения Представим теперь уравнение (17-33) в виде двух уравнений первого порядка:

Интегрирование первого уравнения (17-34) при начальных условиях дает:

Проинтегрировав полученное значение у, найдем х как функцию времени:

Определяя постоянную интегрирования с из условия, что при находим:

Поскольку релейная функция состоит из прямолинейных отрезков, поведение нелинейной системы на отдельных участках описывается линейными уравнениями (17-34) и их решениями (17-35) и (17-36). Это обстоятельство позволяет применить для решения нелинейного уравнения метод припасовывания или метод «сшивания» по участкам решений линейных уравнений. Рассмотрим в качестве примера построение для случая, когда В этом случае при каждом изменении знака х постоянная и будет изменяться или от —1 до или наоборот.

Рис. 17-7. Графики изменения параметров релейной системы, построенные методом припасовывания.

В каждом участке (где х не меняет знака) вычисление производится по уравнениям (17-35) и (17-36) при соответствующем значении и при свбих начальных значениях В каждом участке свой отсчет врет мени, т. е. момент перемены знака х есть момент для последующе участка. Конечные значения каждого предыдущего участка есть начальные значения каждого последующего участка. Пот скольку участки разделяются моментами прохождения х через нуль, начальные условия каждого участка, кроме первого, будут всегда представлять некоторое значение и всегда Для первого участка начальные значения начальные условия всего решения уравнения (17-33) и определяются начальным состоянием системы. На рис. 17-7 приведен пример изменения х и у при начальных значениях

Весьма нагляден и удобен метод припасовывания при построении фазовых траекторий. Исключив время из выражений (17-35) и (17-36) или решив уравнение фазовых траекторий найдем уравнение фазовых траекторий:

найдем уравнение фазовых траекторий

На рис. 17-8 построены семейства фазовых траекторий для при начальных условиях и различных и для —1 при и различных

Рис. 17-8. Фазовые траектории.

Часть фазовых траекторий построена для Эти траектории характеризуют разгон двигателя при включении на постоянное напряжение до установившейся скорости (безразмерное значение). Фазовые траектории, начищающиеся на оси ординат, означают включение вращающегося двигателя на постоянное напряжение полярности, противоположной направлению вращения. В связи с этим двигатель сначала тормозится (торможение противотоком или противовключением), а затем разгоняется до установившейся скорости Величина х при этом нарастает безгранично.

Рассмотрим построение решения уравнения (17-33) на фазовой плоскости также при В этом случае для всей левой полуплоскости и для (всей правой. Постоянная х меняет знак при пересечении изображающей точкой оси у. Пусть следящая система включается при начальных условиях Это значит, что построение фазовой траектории происходит по уравнению (17-38) при

Фазовая траектория строится до оси у (участок на рис. 17-9). Участок фазовой траектории означает уменьшение отклонения х до нуля с возрастанием скорости до при этом двигатель следящей системы работает в режиме пуска. В момент пересечения траекторией оси ординат отклонение х меняет знак, реле переключается и х становится равным —1. Далее построение фазовой траектории происходит по уравнению (17-38) при (участок ). После переключения реле полярность напряжения на двигателе меняется и двигатель начинает тормозиться (участок В процессе торможения накапливается отклонение противоположного знака Далее двигатель разгоняется до скорости реле переключается, двигатель опять тормозится, затем разгоняется (участок 6263, который строится при Последовательные построения

Рис. 17-9, К построению фазовой траектории.

приводят к спиральной фазовой траектории, сходящейся к началу координат. Система, следовательно, совершает колебания с уменьшающимися амплитудами отклонения х и скорости у. Это естественно, поскольку система диосипативная, и в процессе колебаний происходит рассеяние энергии, запасенной при начальном отклонении. В самом деле, в точках система имеет только кинетическую энергию, а в точках только потенциальную. Однако, например, в точке энергия меньше, чем в поскольку часть энергии при торможении рассеивается.

Точно так же, не вся энергия в переходит в кинетическую в точке из-за рассеяния. На рассеяние энергии указывает член отличие от линейной системы частота колебаний непрерывно нарастает, стремясь к бесконечности Это естественно, поскольку реле принято идеальным (табл. 16-2, поз. 1).

Заметим, что переходные процессы, приведенные на рис. 17-7, представляют собой развертку во времени фазовой картины (рис. 17-9). Для данного случая можно указать способ перехода от фазовой картины к процессам во времени. Для такого перехода нужно вычислять отрезок времени соответствующий двум каким-либо положениям изображающей точки 1 и 2 на фазовой траектории (рис. 17-10). Выразим координаты точки 2 через координаты точки считая их за начальные, с помощью (17-35) и (17-36):

Складывая оба выражения, находим время за которое изображающая точка переместится из точки В точку

где приращения координат.

Рис. 17-10. Переход от фазовой картины к процессам во времени.

Из (17-39) вытекает графическое определение отрезка времени Через точки проводятся параллельные прямые под углом 135° к оси абсцисс. Отрезки между этими прямыми на осях х и у численно равны

В рассмотренном примере следящей системы с идеальным реле автоколебаний не получилось. Начало координат оказалось устойчивым, поскольку колебания следящей системы затухают. При двухпозиционном идеальном реле (табл. 16-2, поз. 1) в положении равновесия будут колебания бесконечно большой частоты и бесконечно малой амплитуды. При трехпозиционном идеальном реле (табл. 16-2, поз. 1,а) таких колебаний в состоянии равновесия не будет.

Пусть теперь реле следящей системы двухпозиционное с зоной неоднозначности а (табл. 16-2, поз. 2). Переключение такого реле происходит не при а позднее, после того как х достигнет при и —а при Таким образом, переключение реле и изломы фазовых траекторий будут теперь происходить не на оси ординат, а на прямых параллельных оси ординат. Эти прямые, обозначенные на рис. называются линиями переключения. Всюду левее линий переключения (в заштрихованной области и правее.

Рис. 17-11. Линии переключения: при

После того как нанесены линии переключения, можно приступать к построению фазовой трактории по уравнению (17-38), задавшись какими-либо начальными условиями.

Вследствие смещения линий переключения вправо по ходу изображающей точки процесс торможения двигателя при колебаниях сокращается, а процесс разгона увеличивается. Переключение реле опаздывает по отношению к моменту смены знака х. Это запаздывание равно времени, в течение которого координата нарастает от нуля до величины а. В результате фазовая траектория не будет стремиться к началу координат, а сойдется к некоторому предельному циклу, (рис. 17-12). Это значит, что в системе установятся автоколебания. Построение на рис. 17-12 произведено при начальном отклонении, большем амплитуды автоколебаний Однако если взять начальное отклонение, меньшее амплитуды автоколебаний, то из построения можно увидеть, что спираль начнет разворачиваться и вновь установится тот же самый цикл, указывающий на наличие в системе автоколебаний (пунктирная траектория на рис. 17-12).

Рис. 17-12. Фазовые траектории, построенные по уравнению (17-38).

Предельный цикл будет всегда одним и тем же, и к нему будут свертываться все фазовые траектории при любых начальных условиях.

До сих пор рассмотрение вопроса об автоколебаниях носило качественный характер. Необходимо строго доказать существование автоколебаний в системе, найти их амплитуду, частоту, наконец доказать их устойчивость.

Количественные исследования поведения фазовых траекторий для нелинейных систем с нелинейной функцией, составленной из прямолинейных отрезков, можно проводить согласно А. А. Андронову методом точечных преобразований. Воспользуемся этим методом для анализа процесса в реденных системах.