15-3. КАЧЕСТВО ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ

а) Статические и астатические системы коэффициенты ошибок

Коэффициенты ошибок дискретной системы — это коэффициенты разложения в ряд по степеням дискретной передаточной функции

для ошибки . В результате разложения изображение ошибки представляется в виде:

Ряд будет сходиться при Это значит, что с его помощью можно вычислить ошибки при т. е. в установившемся режиме. Перейдя от изображения к оригиналу, получим:

Как видно, ошибка вычисляется в виде суммы ряда разностей входного сигнала

При система регулирования будет статической, при астатической первого порядка, при астатической второго порядка и т. д.

У астатической системы первого порядка передаточная функция

должна иметь один нуль, равный единице, т. е. полином должен содержать множитель . У астатической системы второго порядка единичный нуль должен быть второй кратности, т. е. должен содержать множитель Аналогичные рассуждения и определения получаются не только для входного сигнала но и для непрерывного возмущения действующего на линейнуючасть системы (рис. 15-1).

Для вычисления коэффициентов ошибок путем разложения в ряд передаточной функции необходимо предварительно осуществить подстановку где

б) Переходные функции замкнутых систем

Переходная функция описывает реакцию системы на ступенчатый сигнал . В соответствии с этим изображение переходной функции имеет вид:

Импульсная переходная функция как реакция на -сигнал имеет своим изображением передаточную функцию, т. е.

Обе временные характеристики: можно вычислить тремя способами: 1) разложением в ряд по степеням дробно-рациональных функций изображений определением полюсов и разложением изображений на сумму элементарных дробей; 3) частотным методом. При использовании частотного метода импульсная переходная функция может быть вычислена с помощью интегралов (14-103), где и соответственно вещественная и мнимая части Переходная составляющая ошибки также может быть вычислена с помощью интегралов (14-103). При этом и вещественная и мнимая части Вычисление интегралов производится приближенно путем разбиения [или ] на элементарные трапеции [Л. 14-1].

в) Огибающие дискретных процессов

Течение огибающей какой-либо выходной дискретной функции системы во многих случаях может оказаться подходящим критерием качества процесса регулирования. В линейной импульсной системе регулирования огибающая будет всегда решением некоторого линейного дифференциального уравнения. В замкнутых системах огибающая совпадает с истинным значением выходной величины только в дискретных точках поскольку имеет скачки производных в этих точках. Иными словами, выходная последовательность есть последовательность ординат в точках При этом никакого отношения к поведению выходной величины

три интервалов повторения не имеет. Предстоит решить задачу: по известным системе разностных уравнений и передаточной функции найти а также соответствующую систему дифференциальных уравнений и передаточную функцию для огибающей.

Пусть в результате решения разностных уравнений найдена выходная величина

где — полюсы передаточной функции полюсы изображения воздействия образуются так же, как в формуле (14-89).

По условию весовые коэффициенты искомой огибающей дискретного процесса. Поскольку эти весовые коэффициенты изменяются по закону геометрической прогрессии, каждым слагаемым в выражении (15-27) будут соответствовать слагаемые экспоненты с показателями

Таким образом, для огибающей будем иметь выражение

Проанализируем связь между корнями характеристического уравнения дискретной системы и корнями характеристического уравнения огибающей.

1. Корень вещественный положительный, поэтому

При корень вещественный отрицательный и при корень вещественный положительный.

2. Корень вещественный отрицательный, следовательно,

Отрицательному вещественному корню соответствует бесконечный ряд сопряженных комплексных корней для огибающей. Поскольку для дискретного процесса частоты не отличимы друг от друга, корни огибающей можно взять в виде:

где частота, равная половине частоты повторения Как видно, одному отрицательному вещественному корню соответствует пара комплексных сопряженных у огибающей. Знак вещественной части корней определяется модулем

3. Пара комплексных сопряженных корней с положительной вещественной частью

соответствующие корни у огибающей

где

Комплексные сопряженные корни с положительной вещественной частью дают в огибающей синусоидальную компоненту частоты При колебания затухают» а при нарастают.

4. Корни мнимые

В огибающей имеются синусоидальные колебания периода затухающие при и возрастающие при

5. Комплексные корни, модуль которых равен единице,

где

Огибающая содержит незатухающие синусоидальные колебания частоты

6. Комплексные корни с отрицательной вещественной частью:

где

Огибающая содержит две синусоидальные компоненты: частоты и частоты Затухание компонент определяется по-прежнему модулем

7. Кратные вещественные положительные корни. Составляющей элементарной дроби в разложении изображения дискретного процесса соответствует компонента Составляющей элементарной дроби в соответствует компонента Следовательно,

или

Характеристическое уравнение огибающей в нормированной форме всех кратных корнях имеет вид:

Соответствующее уравнение дискретного процесса

8. Характеристическое уравнение искретного процесса имеет все корни, равные нулю. При этом

Как видно, передаточная функция оказывается конечным рядом степеней Импульсная переходная функция — также конечная, а не бесконечная последовательность весовых коэффициентов. Переходные процеосы в такой системе заканчиваются в конечный промежуток времени. Указанное явление не имеет места в непрерывных линейных системах. При всех нулевых корнях дискретной системы уравнение огибающей будет иметь корни, равные бесконечности. Понятие огибающей как решения линейных дифференциальных уравнений теряет смысл.