17-5. ТЕОРИЯ РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМ

Релейные системы являются важной разновидностью нелинейных систем. Система с одним релейным элементом всегда может быть, представлена в виде одноконтурной схемы, состоящей из релейного элемента и линейной части (рис. 17-50,а). В том случае, когда линейная часть описывается уравнением второго порядка, точное решение о динамике релейной системы всегда можно получить методом фазовой плоскости. В настоящем параграфе будут рассмотрены точные методы исследования релейных систем, пригодные для линейной части произвольного порядка.

Рис. 17-50. Структурная схема системы с одним релейным элементом. Графики сигналов на выходе различных релейных элементов.

При автоколебательном процессе, который может установиться в релейной системе, выход релейного элемента у представляет собой последовательность знакопеременных прямоугольных импульсов без пауз или с паузами в зависимости от вида релейного элемента (рис. 17-50,а и б). На рис. 17-50,а и б длительность импульса обозначена длительность паузы Последовательность импульсов I без пауз образуется при релейных элементах (1) и (2) (табл. 16-2), а последовательности с паузами — при релейных элементах (3) и (4) (табл. 16-2).

а) Условия, существования автоколебаний

В автоколебательном режиме выходная координата х является периодической функцией времени и представляет собой установившуюся реакцию линейной части на последовательность знакопеременных прямоугольных импульсов. Эту установившуюся реакцию обозначим Соответственно на вход релейного элемента будет действовать, сигнал Поскольку периодические функции, момент совместим с началом какого-либо положительного импульса (рис. 17-51). Вопрос о вычислении функции или будет изложен ниже. Сейчас положим, что эти функции известны. Из рассмотрения диаграмм на рис. 17-51 для некоторых релейных функций найдем условия существования автоколебаний. Для релейного элемента (рис. 17-51,а) имеем, очевидно, следующее условие автоколебательного режима:

или

Рис. 17-51, Графики входных и выходных сигналов релейных элементов.

Соответственно при идеальном реле, когда

В силу симметрии колебаний условия (17-104а) и (17-1046) равноценны соответственно условиям Однако нужно иметь в виду, что в случае рис. 17-51,а функция принимает значение не только в точках переключения (точки 1, 3, 5), но и в точках Точки можно отличить от точек переключения по знаку производных функций или в этих точках. Поэтому условия (17-104а) и (17-104б) должны быть дополнены еще условием, указывающим знак производной или в точке переключения. Для релейного элемента (рис. 17-51,а) это условие будет иметь вид:

или

Условие (17-105) называют условием переключения в надлежащую сторону; оно справедливо и для идеального реле

Двум условиям существования автоколебаний для релейных элементов (1) и (2) будут соответствовать две пары аналогичных условий для релейных элементов (3) и (4) (табл. 16-2):

Кроме двух рассмотренных условий автоколебаний (17-104а), (17-1046) и и соответственно (17-106) и (17-107), существует еще третье условие — отсутствие непредусмотренных переключений внутри интервала При идеальном реле это означает, что внутри интервала функция не должна менять знака. Нарушение этого третьего условия может привести к сложным периодическим режимам (рис. 17-52). Выполнение третьего условия проверяется по течению кривой Условия (17-104а) и (17-1046) [или соответственно (17-106)] представляют собой уравнения, из которых при известных функциях можно найти неизвестное значение периода автоколебаний . В связи с этим уравнения типа (17-104) и (17-106) носят название уравнений периодов.

Рис. 17-52. Графики входного и выходного сигналов реле.

Число вещественных корней уравнения периодов при выполнении двух остальных условий определит автоколебательных режимов с периодами Некоторые из этих режимов будут устойчивыми, некоторые — неустойчивыми. Если уравнение периодов не имеет вещественных корней, это значит, что автоколебания в данной релейной системе невозможны, том числе при идеальном реле (табл. 16-2). При идеальном же реле (1) (табл. 16-2) это может означать также автоколебания бесконечно большой частоты и бесконечно малой амплитуды.

б) Определение функции xa(t) и решение уравнения периодов для некоторых случаев

Приведем два способа определения периодической функции

1) по частотной характеристике линейной части

2) непосредственно по передаточной функции когда известны все ее полюсы [нули

Выходную величину релейного элемента как последовательность прямоугольных импульсов представить рядом Фурье. Для релейных элементов (1), (2) (табл. 16-2), когда паузы равны нулю,

где

Согласно теории рядов Фурье при значениях к правой части выражения (17-108) необходимо добавить слагаемое

где скачок функции в точках В данном случае скачок равен поэтому, например,

Определяя с помощью частотной характеристики реакцию линейной части на каждую гармонику в отдельности, после суммирования находим:

Значение в момент переключения получим, подставив в (17-109)

Для определения условия переключения в надлежащую сторон находим производную полагая получаем:

Заметим, что функция будет иметь скачки D в точках если степень знаменателя будет равна степени числителя . В этом случае производная кроме скачков, будет содержать также и -функции. Если степень числителя будет меньще степени знаменателя на единицу, то будет непрерывна, будет иметь скачки D в точках . В дальнейшем будем иметь в виде этот последний случай и случаи, когда и непрерывны.

Определение периодического решения при известных полюсах передаточной функции приведем без доказательства для случая, когда имеет один нулевой полюс и простых полюсов с

отрицательной вещественной частью, т. е. когда

Выражение для релейных элементов (1), (2) (табл. 16-2) для положительного импульса

В случае релейных элементов (3), (4) (табл. 16-2) для положительного импульса

для паузы после продолжительного импульса

Используя (17-112), запишем условия автоколебаний (17-104а), (17-1046) и (17-105) в явном виде:

где

При степень числителя на единицу меньше степени знаменателя и будет непрерывной, а при будет иметь скачки, равные . В самом деле,

Найденное значение скачка необходимо учитывать при использовании формулы (17-111).

Рассмотрим пример вычисления автоколебаний в релейной следящей системе. Структурная схема следящей системы и ее преобразование приведены на рис. 17-53-

Рис. 17-53. Структурные схемы релейной следящей системы, -исходная; -преобразованная.

Релейный элемент (усилитель) следящей системы имеет отрицательную обратную связь через инерцйонное звено. В гл. 4 было показано, что такая связь приводит к линеаризации релейной характеристики автоколебаниями, возникающими в контура реле — инерционное звено (внутренний контур на рис. 17-53,а). В данйам примере интересно будет проследить влияние параметров. обратной связи релейного усилителя на автоколебания . Согласно схеме рис. 17-53,б передаточная функция линейной части

где

— передаточная функция двигателя следящей системы;

-передаточная функция корректирующей цепи (обратной связи);

Уравнение периодов без корректирующей цепи:

Графическое решение этого уравнения Приведено на рис. 17-54. Точка пересечения кривой

и прямой дает полупериод автоколебаний Условие (17-116) в точке пересечения также выполняется.

Из графического построения видно влияние параметров системы на автоколебания. Период автоколебаний возрастает с ростом и зоны неоднозначности релейного элемента а. Увеличение произведения снижает период автоколебаний.

Рис. 17-54. Графическое решение уравнения (17-117).

Для определения влияния корректирующей цепи необходимо добавить слагаемое

Кривая и результирующая кривая также приведены на рис. 17-54. Как видно, включение корректирующей цепи привело к резкому уменьшению периода автоколебаний. Чем больше корректирующей цепи, тем сильнее уменьшается период автоколебаний. Заметим, что пересечение прямой а с дает период автоколебаний во внутреннем контуре, когда внешний разомкнут. Как видно из построения на рис. 17-54, можно всегда выбрать параметры так, чтобы практш чески не отличалось от периода полученного по кривой Это означает, что режим автоколебаний определяют не основные параметры следящей системы а свойства релейного усилителя и параметры его обратной связи Основной контур следящей системы можно рассматривать как разомкнутый по Отношению к автоколебаниям внутреннего контура. С другой стороны, автоколебания внутреннего контура линеаризуют релейную характеристику усилителя и позволяют Считать всю следящую систему линейной. Этот вопрос будет рассмотрен подробнее.