11-2. ПРИМЕРЫ СУЩЕСТВЕННО НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Проиллюстрируем на двух примерах исследование нестационарных систем, основанное на возможности получить решение уравнения второго порядка в конечной форме.

В качестве первого примера рассмотрим уравнение (11-5), описывающее вывод самолета на аэродром посадки. Вводя новую независимую переменную

получаем:

Уравнение (11-6) представляет собой так называемое вырожденное гипергеометрическое уравнение и также относится к классу уравнений с особой точкой. Этому уравнению удовлетворяют вырожденные гипергеометрические функции [Л. 11-9], определяемые бесконечным рядом

причем в данном случае

Общее решение линейного уравнения (11-6), как обычно, состоит из суммы двух линейно независимых частных решений

где функция первого решения (11-6), функция второго решения.

Если число не целое, то

При целом, как это имеет место в данном случае, определение через по формуле (11-8) не дает линейно независимого решения, поэтому при функцию второго решения следует взять в форме

Если выбрать а натуральным числом то ряд обрывается на члене, обращаясь в полином степени С точностью до постоянного множителя этот полином равен обобщенному полиному Чебышева — Лягерра. Гипергеометрические функции весьма бедно табулированы, поэтому выбор в виде натурального числа несколько упрощает необходимые вычисления функций

На рис. 11-2, а, б, в, г приведены вычисленные графики функций для при малых и больших значениях аргумента. При малых значениях аргумента функции имеют колебательный характер. При или при

При больших значениях аргумента обе функции монотонны и убывают с уменьшением тем интенсивнее, чем выше Всегда имеется возможности в зависимости от начальной дальности или времени выбрать такое значение чтобы процесс сближения самолета с заданной осью ВПП был бы монотонным.

На рис. 11-3 приведены кривые изменения бокового отклонения от линии пути как результат решения уравнения (11-6) при различных значениях сек и сек.

Рассмотрим ту же задачу вывода самолета на заданную линию пути (ось ), но при другом законе регулирования. Из уравнений и (11-5) видно, что сигнал с порцией определяет коэффициент при производной в уравнении движения. В связи с этим, если, кроме сигнала измерить также сигнал то можно сформулировать закон регулирования в следующем виде:

Используя этот закон регулирования» из группы уравнений (11-3) получим уравнение для

где Вводя новую независимую переменную вместо (11-9) получим:

Уравнение (11-9а) подстановкой

Рис. 11-2. Графики функций первого и второго решений уравнения (11-6) выхода самолета на аэродром посадки.

сводится к уравнению Бесселя порядка т. е.

Решение уравнения (11-96) для при целом с учетом подстановки имеет следующий вид:

где постоянные, зависящие от начальных условий; функции Бесселя порядка первого и второго рода соответственно. Графики бесселевых функций носят явно выраженный колебательный характер. «Период» колебаний переменный и определяется параметром Множитель в решении (11-10) характеризует интенсивность затухания колебаний. Чем выше тем интенсивнее затухают колебания. На рис. приведены графики построенные по формуле для при и На рис. для тех же начальных условий построены графики при и для различных Верхний график построен для сек, а нижний при тех же условиях — для сек.

Обращает на себя внимание уменьшение колебательности кривой с уменьшением или В предыдущем случае при первом законе регулирования наблюдалось как раз обратное явдение (см. графики на рис. 11-2 для малых

Рис. 11-3. (см. скан) Изменение бокового отклонения самолета от линии пути при различных порциях сигнала углового отклонения.

Рис. 11-4. Процесс выхода самолета на линию путипри и различных сек; б) сек.

Рис. 11-5. Процесс выхода самолета на линию пути при различных .