б) Некоторые особенности вычисления переходных функций

Используя преобразование Лапласа, переходные функции всегда можно определить как оригинал изображения Однако некоторые полезные представления можно получить из решения дифференциального уравнения системы

или

Решение уравнения (10-23) при нулевых начальных условиях дает переходную функцию Уравнение для будет иметь другие значения коэффициентов в правой части (10-23).

Для определения или можно первоначально найти интеграл уравнения

Решение этого уравнения при нулевых начальных условиях обозначим причем Тогда решение (10-23) для или будет иметь следующий вид:

Иногда бывает удобно вместо переходной функции разыскивать переходные составляющие ошибки

При длястатических систем для астатических — Из (10-26) вытекает, что переходная составляющая ошибки является зеркальным изображением переходной функции. Поэтому безразлично, что определять: переходную функцию (а) или ее зеркальное изображение — переходную составляющую ошибки (б) (рис. 10-4). Однако при решении задачи на интеграторах (вычислительных машинах) удобнее определять последнюю, поскольку она получается из решения однородного уравнения

при ненулевых начальных условиях. Начальные условия определяются последовательно из системы уравнений:

Система уравнений записана для наибольшего Она получена из сопоставления изображения для переходной составляющей ошибки и изображения х, найденных из (10-27) при ненулевых начальных условиях.

Подчеркнем, что решение (10-27) при начальных условиях, определенных системой (10-28), равноценно решению уравнения (10-23) при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим несколько частных случаев:

1. Передаточная функция не имеет нулей (точнее, имеет нуль в бесконечности). Это значит, что Тогда из (10-28) получаем:

2. Передаточная функция имеет один нуль, т. е.

Тогда из (10-28) получаем:

3. Передаточная функция имеет два нуля, т. е. :

Отсюда

Один нуль передаточной функции соответствует функции в правой части уравнения (10-23) или эквивалентному ненулевому начальному значению производной при использовании однородного уравнения. Два нуля соответствуют -функции и ее производной в правой части уравнения (10-23) или эквивалентным ненулевым начальным величинам производных при однородном уравнении.

Нужно отметить, что имеется два возможных вида начальных отклонений, т. е. значений какой-либо координаты и ее производных до включительно вначальный момент времени. Первый вид — начальные

Рис. 10-4. Переходная функция (а) и переходная составляющая ошибки (б).

отклонения, возбуждаемые воздействующей функцией в момент Действие функции может привести к скачкообразным изменениям координат и их производных. Этот первый вид и имеется в виду в уравнениях (10-28). Второй вид — это начальные отклонения, никак не связанные с действием Эти начальные условия — результат того, что при до воздействия система была в движении, и, следовательно, при имела некоторые значения координаты и ее производных. При решении дифференциальных уравнений системы обычным классическим способом начальные условия являются алгебраической суммой обоих видов начальных отклонений. При решении методом преобразования Лапласа в расчет принимается только второй вид начальных отклонений; первый вид учитывается автоматически. При отыскании переходных функций второй вид начальных отклонений всегда отсутствует.

Для определения времени регулирования и характера протекания переходной функции нужно построить график переходной функции, а для этого нужно предварительно вычислить т. е. тем или иным способом решить дифференциальное уравнение системы. Численное решение довольно трудоемко и, что самое главное, при однократном численном решении, как, впрочем, и при однократном решении задачи на вычислительных машинах не выявляется связь между параметрами системы и характером переходных функций. Здесь возникает та же задача, что и в вопросах устойчивости: определить, какие принять меры, как изменить параметры, если течение переходной функции окажется неудовлетворительным? Это — задача установления явных связей между течением и параметрами системы, представленными, например, в виде коэффициентов передаточных функций. Ниже будут изложены три косвенных метода оценки переходных функций: оценка по распределению корней (точнее — полюсов и нулей передаточной функции); оценка по частотным характеристикам и интегральные квадратичные оценки характера переходных функций.