Спинор электромагнитного поля
Поскольку тензор 
действителен и антисимметричен, для него возможно разложение вида [формула (3.4.20)]
где 
— спинор электромагнитного поля, причем
Как было ранее объяснено в гл. 3, § 4, тензоры 
представляют собой антисамодуальную и самодуальную части максвелловского поля. Аналогично тому, как в разложениях операторов 
[формула (4.9.13)] появились спиноры кривизны, дополнительно возникает спинор элёктромагнитного поля в случае заряженных; полей (даже скалярных). Например, для 
в [формула (4.9.1)] имеем
и аналогично
Если то возникают добавки 
(или 
) к соответствующим разложениям для незаряженных полей 
(или 
). Действительно, свертывая 
немедленно получаем
чем и доказывается наше утверждение. [Аналогичный результат для 
получается свертыванием (5.1.33) с 
. В частности, мы имеем
Спинорная форма соотношения (5.1.37) такова:
что непосредственно видно из (5.1.39). Иначе это соотношение можно получить прямо из (5.1.13), используя (5.1.41).
На потенциал 
часто налагается (обычно в плоском пространстве-времени) калибровочное условие Лоренца
С учетом определения (5.1.13) это эквивалентно наложению следующего условия на калибровочную функцию а:
При выполнении данного условия соотношение (5.1.46) сводится к виду
поскольку слагаемое в правой части, кососимметричное по 
теперь обращается в нуль.
Вектор тока (5.1.38) в спинорной форме имеет вид
Однако уравнение (5.1.36) эквивалентно уравнению 
[формула (3.4.26)], а следовательно, поскольку 
в [формула (3.4.22)], соотношению
Полная система уравнений Максвелла (5.1.50) и (5.1.51) теперь может быть представлена в виде одного уравнения
вместе с условием действительности тока
Уравнение непрерывности
является следствием уравнений (5.1.52) или (5.1.38), так как члены, пропорциональные кривизне, взаимно уничтожаются. Например, из (5.1.52) находим [формулы (4.9.2), (4.9.13), (4.6.19)]
[Это соотношение просто выводится с использованием дифференциальных форм. Действительно, если 
то уравнения (5.1.38) и (5.1.54) принимают вид 
причем последнее вытекает из первого в силу равенства 
подробнее см. в формулах (5.9.5) — (5.9.13) и (4.3.17) .1 Комбинируя (5.1.46) с (5.1.52), получаем
Если принять калибровочное условие Лоренца в виде (5.1.49), то можно представить величину (5.1.55) таким образом:
[формулы (4.9.14) и (4.6.19)], и, следовательно [формула (4.6.21)],
(Данное конкретное соотношение в тензорном виде выводится несколько проще.)
Отметим, что если 
то уравнение (5.1.52) принимает вид
это спинорный вариант полной системы уравнений Максвелла без источников 
Аналогия между (5.1.57)
и спинорной формой (4.10.3) тождеств Бианки (для случая вакуума) поразительна. Действительно, как будет показано в § 7, уравнение (5.1.57) есть частный случай уравнений (5.7.2) для свободных безмассовых полей, относящийся к спину, равному единице.
