Спинор электромагнитного поля

Поскольку тензор действителен и антисимметричен, для него возможно разложение вида [формула (3.4.20)]

где — спинор электромагнитного поля, причем

Как было ранее объяснено в гл. 3, § 4, тензоры представляют собой антисамодуальную и самодуальную части максвелловского поля. Аналогично тому, как в разложениях операторов [формула (4.9.13)] появились спиноры кривизны, дополнительно возникает спинор элёктромагнитного поля в случае заряженных; полей (даже скалярных). Например, для в [формула (4.9.1)] имеем

и аналогично

Если то возникают добавки (или ) к соответствующим разложениям для незаряженных полей (или ). Действительно, свертывая немедленно получаем

чем и доказывается наше утверждение. [Аналогичный результат для получается свертыванием (5.1.33) с . В частности, мы имеем

Спинорная форма соотношения (5.1.37) такова:

что непосредственно видно из (5.1.39). Иначе это соотношение можно получить прямо из (5.1.13), используя (5.1.41).

На потенциал часто налагается (обычно в плоском пространстве-времени) калибровочное условие Лоренца

С учетом определения (5.1.13) это эквивалентно наложению следующего условия на калибровочную функцию а:

При выполнении данного условия соотношение (5.1.46) сводится к виду

поскольку слагаемое в правой части, кососимметричное по теперь обращается в нуль.

Вектор тока (5.1.38) в спинорной форме имеет вид

Однако уравнение (5.1.36) эквивалентно уравнению [формула (3.4.26)], а следовательно, поскольку в [формула (3.4.22)], соотношению

Полная система уравнений Максвелла (5.1.50) и (5.1.51) теперь может быть представлена в виде одного уравнения

вместе с условием действительности тока

Уравнение непрерывности

является следствием уравнений (5.1.52) или (5.1.38), так как члены, пропорциональные кривизне, взаимно уничтожаются. Например, из (5.1.52) находим [формулы (4.9.2), (4.9.13), (4.6.19)]

[Это соотношение просто выводится с использованием дифференциальных форм. Действительно, если то уравнения (5.1.38) и (5.1.54) принимают вид причем последнее вытекает из первого в силу равенства подробнее см. в формулах (5.9.5) — (5.9.13) и (4.3.17) .1 Комбинируя (5.1.46) с (5.1.52), получаем

Если принять калибровочное условие Лоренца в виде (5.1.49), то можно представить величину (5.1.55) таким образом:

[формулы (4.9.14) и (4.6.19)], и, следовательно [формула (4.6.21)],

(Данное конкретное соотношение в тензорном виде выводится несколько проще.)

Отметим, что если то уравнение (5.1.52) принимает вид

это спинорный вариант полной системы уравнений Максвелла без источников Аналогия между (5.1.57)

и спинорной формой (4.10.3) тождеств Бианки (для случая вакуума) поразительна. Действительно, как будет показано в § 7, уравнение (5.1.57) есть частный случай уравнений (5.7.2) для свободных безмассовых полей, относящийся к спину, равному единице.