§ 8. Условия совместности

Для уравнения (5.7.2) в искривленном пространстве-времени имеется алгебраическое условие совместности [21, 23, 151] при а в случае заряженных полей в присутствии электромагнитного поля имеется такое условие при Чтобы найти эти условия, подействуем оператором на уравнение (5.7.2), предполагая, что поле имеет заряд тогда с помощью формулы (5.1.44) найдем

Первые два члена, содержащие X, равны нулю, так как [формула (4.6.6)]. Кроме того, поскольку в силу формулы (4.6.35) мы имеем из этих выкладок следует, что при выполняется соотношение

Данное соотношение представляет собой алгебраическое условие, связывающее поле с конформной кривизной Члвсо при и с электромагнитным полем если при

В силу этих алгебраических условий уравнение поля (5.7.2) оказывается неудовлетворительным, когда эти условия не пусты. Укажем отдельные возможные случаи. Первый случай — когда пространство-время имеет метрику Минковского, а электромагнитное поле отсутствует или заряд поля равен нулю; уравнение поля (5.7.2) удовлетворительно в том смысле, что все комплекснозначные решения волнового уравнения (или действительные решения уравнений Максвелла без источников) являются допустимыми. Это покажет анализ, который будет проведен в § 10 и 11. В качестве второго случая рассмотрим искривленное пространство-время, которое является (локально) конформным пространству Минковского, т. е. для которого можно найти конформное преобразование масштаба (локально), сводящее метрику к метрике Минковского. В этом случае также (по-прежнему в предположении, что ефлв уравнение (5.7.2) удовлетворительно, так как благодаря его конформной инвариантности построение решения сводится к построению решения в пространстве М. [Действительно, обращается в нуль в конформно-плоском пространстве, так что соотношение (5.8.2) становится пустым, если правая часть равна нулю.] В качестве третьего случая предположим, что пространство-время не является конформно-плоским, но Конформный спинор

Вейля теперь будет отличен от нуля [формула (6.9.23)], а потому условие совместности (5.8.2) необходимо также учитывать. В случаях (поле нейтрино и максвелловское поле) по-прежнему нет никаких ограничений (кроме, может быть, глобальных проблем) и поля определены так же хорошо, как и в пространстве М. Но при условие (5.8.2) оказывается весьма сильно ограничивающим. Например, как показали Белл и Шекере [13], в «алгебраически общем» вакуумном пространстве-времени [имеющем разные гравитационные главные изотропные направления; см. текст после формулы (3.5.21), а также гл. 7, § 3 и гл. 8, § 1] при существует не более двух линейно-независимых решений уравнения (5.7.2), и, вообще говоря, допустимы лишь решения, кратные

Все это относится к случаю, когда нас интересуют решения уравнения (5.7.2) в заданном пространстве-времени Разумеется, ситуация будет существенно иной для (полных) вакуумных уравнений Эйнштейна. Если понимать под в уравнении (5.7.2) вейлевский спинор то условие (5.8.2) принимает вид

и фактически не является ограничением, поскольку автоматически выполняется для любого симметричного спинора Чвсо; действительно, если применить «правило пилы» к трем сверткам, то левая часть лишь приобретет знак минус.

Условие совместности (5.8.2) при наличии заряда и электромагнитного поля менее интересно, поскольку безмассовые заряженные поля не существуют в природе. Должны, по-видимому, возникать трудности с электромагнитными взаимодействиями, когда спин больше Но такая же ситуация (существование алгебраических ограничений) имеет место и в случае массивных заряженных полей [67]. Кроме того, аналогичные трудности возникают при наличии гравитации (кривизны) в случае спина, превышающего