Поля в смысле обобщенных функций

Возможно и другое доказательство того, что формула (5.12.6) всегда дает безмассовое свободное поле, доказательство, основанное на несколько иных представлениях. Мы можем рассматривать функцию на как линейную суперпозицию -функций Дирака. Всякой такой -функции в имеющей носитель в отдельной точке на отвечает [формула (5.12.6)] обобщенная полевая функция с носителем на световом конусе с вершиной в [Ясно, что формула (5.12.6) дает ненулевое значение поля, только если вектор RP изотропен.] Если мы димся в том, что эта обобщенная полевая функция удовлетворяет уравнениям свободного безмассового поля, то в силу их линейности мы докажем, что величина, определяемая формулой (5.12.6), удовлетворяет этим уравнениям и в общем случае. Такие решения (5.12.3) или (5.12.4) в смысле обобщенных функций можно также использовать при построении аналогов представления (5.12.6) для различных связанных систем взаимодействующих полей. Здесь мы кратко остановимся на таком подходе, не претендуя на полноту или строгость. (По поводу обобщенных функций на многообразиях см. работу

Прежде всего нам нужно уточнить некоторые свойства ряда обобщенных полевых функций. Введем скалярную «ступенчатую функцию»

Можно также положить До на световом конусе будущего (прошлого) с вершиной в точке (причем в точке О), однако это не играет существенной роли. Заметим, что функция До инвариантна относительно ортохронных преобразований Лоренца. Из определения этой функции следует, что ее градиент должен быть направлен вдоль вектора

причем — некоторая обобщенная функция. Носителем функции является световой конус в начале координат; она представляет собой -функцию на конусе с «амплитудой», обратно пропорциональной протяженности вектора Из обычного соотношения для -функции получаем

что также следует из того, что «ступенька» или постоянна вдоль любой образующей светового конуса и, значит, оператор производной вдоль этого направления, действуя на функцию , дает нуль.

Из соображений лоренц-инвариантности аналогичным образом находим

причем — некоторая обобщенная функция тоже со световым конусом в качестве носителя, но пропорциональная производной от -функции. Продолжая так же далее, получим последовательность обобщенных функций заданную соотношением

Иногда оказывается удобным ввести также -скаляр

тогда соотношение (5.12.59) будет справедливо при всех целых

Теперь можно доказать следующее предложение.

Предложение.

Доказательство. При это прямо следует из определения (5.12.60). При 0 подействуем на обе части равенства (5.12.61) оператором подставим выражение (5.12.59) и сократим на Получим такое же соотношение, но с заменой

на Поскольку для случая ранее было установлено равенство (5.12.57), доказательство следует по индукции.

В качестве следствия из предложения (5.12.61) можно получить

где

В следующем предложении обобщается предложение (5.12.61) в случаях

Предложение.

Пусть спиноры изменяются непрерывно; тогда

если выполняются необходимые и достаточные условия

если выполняются необходимые и достаточные условия

Доказательство. Мы можем опустить всюду индекс по которому выражения диагональны. Из равенства после умножения на хаха на основании предложения (5.12.61) находим следовательно, на конусе. Дифференцируя соотношение получаем так что откуда на конусе. Аналогично, умножая обе части равенства на и используя предложение (5.12.61), находим поэтому в силу предложения имеем на конусе. Дифференцируя обе части соотношения получаем

Дифференцируя обе части равенства с учетом равенства находим

откуда

чем и доказывается искомое соотношение. Обратив рассуждения, нетрудно доказать достаточность.

Как записано в формуле (5.12.62), обобщенная функция удовлетворяет волновому уравнению Даламбераи Аналогичное

Рис. 5.10. К соотношениям (5.12.64) и (5.12.65).

решение уравнений безмассового свободного поля со спином можно записать в виде

где для некоторой изотропной прямой проходящей через начало координат спинор имеет направление флагштока вдоль образующих световых конусов с вершинами на (рис. 5.10); спинор нормирован вместе с условием [как в формуле (5.12.1)], где постоянный спинор с флагштоком вдоль спинор не определен на и на изотропной гиперплоскости проходящей через Радиус-вектор точки Р имеет вид т. е.

Это совпадает с (5.12.41) при все соотношения (5.12.43) — (5.12.47) выполняются, как и прежде. Далее, на световом конусе с вершиной в точке О мы имеем а поэтому

Кроме того,

что после подстановки в (5.12.61) дает

откуда в силу формул (5.12.59) и (5.12.65) при всех целых получаем

Заметим, что здесь мы не рассматриваем область т. е. прямую или, точнее, всю изотропную гиперплоскость Дифференцируя (5.12.64) с использованием (5.12.46) и (5.12.69), далее находим

и значит, уравнения свободного безмассового поля выполняются вне гиперплоскости Аналогичные раесуждения показывают, что выражение

при всех целых также удовлетворяет уравнениям свободного безмассового поля вне

Напомним, что «амплитуда» -функции убывает как Таким образом, в обобщенной формуле Кирхгофа — Дадемара (5.12.6) выражается то обстоятельство, что поле есть линейная суперпозиция полей, каждое из которых имеет носителем световой конус с вершиной в некоторой точке гиперповерхности Каждый такой вклад имеет вид (5.12.64) с началом, смещенным в точку образующей проходящей через и изотропным значением в точке Когда точка пробегает эти вклады суммируются, давая полное поле Таким образом, доказательство того, что (5.12.64) есть безмассовое свободное поле, эквивалентно доказательству, что формула (5.12.6) всегда дает такое поле. (И действительно, проведенные рассуждения весьма близки к первоначальному доказательству.)