«Ряд Тейлора» на световом конусе
Соотношение (5.11.6) указывает, каким образом, зная все несимметризованные производные (5.10.3) системы полей в точке О, можно вычислить поля во всех остальных точках (не слишком далеких от О на первом шаге; в «удаленные» точки можно попасть, сделав несколько шагов). Предположим теперь что
и выясним роль симметризованных производных (5.10.2). Рассмотрим точки X, лежащие на световом конусе
с вершиной в точке О. Тогда
будет изотропной геодезической, а
— изотропным вектором, который, следовательно, будет иметь вид
(если выбрать вектор
направленный в будущее). Для заданной изотропной геодезической
мы выберем постоянным (и незаряженным) вдоль
Тогда, умножив (5.11.6) на
(в силу постоянства
вдоль у можно недвусмысленно записывать произведения
снаружи скобок), будем
иметь
Благодаря симметрии произведений
в этом соотношении фактически участвуют именно симметризованные производные
[формула (3.3.23)]. Заданием этих всех симметризованных производных в точке О определяй ется величина
вдоль любой изотропной геодезической, проходящей через О, и, следовательно, всюду на
Комплексное число
будем называть изотропным значением поля
в точке X на
Если определенным образом выбрать
для всех изотропных направлений в точке О (например, положив
в точке О, чем исключается лишь образующая
то мы можем рассматривать
как скалярную функцию, определенную на световом конусе с вершиной в точке О, причем заданную симметризованными производными поля
в точке О, хотя, точнее,
есть взвешенная функция, как в гл. 4, § 12, в чем мы вскоре убедимся. Обратно, значениями
на
определяются значения симметризованных производных. В самом деле, световой конус
можно параметризовать действительным параметром
в вершине) и комплексным отношением
в О, т. е. комплексным параметром
если выбрать
Коэффициент при
в формуле (5.11.10) будет равен