«Ряд Тейлора» на световом конусе

Соотношение (5.11.6) указывает, каким образом, зная все несимметризованные производные (5.10.3) системы полей в точке О, можно вычислить поля во всех остальных точках (не слишком далеких от О на первом шаге; в «удаленные» точки можно попасть, сделав несколько шагов). Предположим теперь что

и выясним роль симметризованных производных (5.10.2). Рассмотрим точки X, лежащие на световом конусе с вершиной в точке О. Тогда будет изотропной геодезической, а — изотропным вектором, который, следовательно, будет иметь вид

(если выбрать вектор направленный в будущее). Для заданной изотропной геодезической мы выберем постоянным (и незаряженным) вдоль Тогда, умножив (5.11.6) на (в силу постоянства вдоль у можно недвусмысленно записывать произведения снаружи скобок), будем

иметь

Благодаря симметрии произведений в этом соотношении фактически участвуют именно симметризованные производные [формула (3.3.23)]. Заданием этих всех симметризованных производных в точке О определяй ется величина

вдоль любой изотропной геодезической, проходящей через О, и, следовательно, всюду на

Комплексное число будем называть изотропным значением поля в точке X на Если определенным образом выбрать для всех изотропных направлений в точке О (например, положив в точке О, чем исключается лишь образующая то мы можем рассматривать как скалярную функцию, определенную на световом конусе с вершиной в точке О, причем заданную симметризованными производными поля в точке О, хотя, точнее, есть взвешенная функция, как в гл. 4, § 12, в чем мы вскоре убедимся. Обратно, значениями на определяются значения симметризованных производных. В самом деле, световой конус можно параметризовать действительным параметром в вершине) и комплексным отношением в О, т. е. комплексным параметром если выбрать Коэффициент при в формуле (5.11.10) будет равен

т. е. при каждом значении величины он будет определяться величиной Но поведение произведения (5.11.12) при преобразовании также известно: это произведение умножается на Следовательно, коэффициент (5.11.12) определяется величиной как функцией переменных Поскольку величины и независимы, выражением (5.11.12), которое является полиномом по будут однозначно определяться коэффициенты

Физический смысл определения точной системы полей теперь становится более прозрачным. Условие в определении точной системы полей гарантирует, что их изотропными значениями на световом конусе эти поля задаются всюду в пространстве-времени Условием обеспечивается возможность независимого выбора начальных данных на т. е. отсутствие связей. Таким образом, для любой точной системы полей изотропные данные представляют собой полную неизбыточную систему начальных значений на световом конусе с вершиной в произвольной заданной точке.