§ 2. Уравнения Эйнштейна — Максвелла в спинорной форме

Рассмотрим далее спинорную форму связанной системы «электровакуумных» уравнений Эйнштейна — Максвелла, т. е. полевых уравнений общей теории относительности с тензором энергии-импульса электромагнитного поля в качестве единственного источника. Сначала нужно построить спинорный эквивалент тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Это действительный симметричный тензор квадратичный по электромагнитному полю и удовлетворяющий уравнению

при условии выполнения уравнений Максвелла без источников. Существует одно очевидное выражение в спинорном формализме, удовлетворяющее этим свойствам, а именно

где — действительная и положительная постоянная (в силу требований положительной определенности, о которых будет сказано ниже). Тензор, заданный соотношением (5,2.2), действителен, симметричен, квадратичен по , следовательно, по

и удовлетворяет уравнению (5.2.1) в силу равенства (5.1.57). Напомним, что тензор Беля — Робинсона (4.8.9) удовлетворяет подобному же уравнению (4.10.11) по аналогичной причине [формула (4.10.9)].

Стандартные тензорные выражения для максвелловского тензора энергии-импульса таковы:

Подстановка выражения (5.1.39) в любое из них действительно приводит к уравнению (5.2.2) с

Заметим, что второе равенство в формуле (5.2.3) вполне аналогично тензорному соотношению (4.8.10) между тензором Беля — Робинсона и тензором Вейля. Далее, тензор инвариантен относительно дуальных поворотов электромагнитного поля (3.4.42, так как они соответствуют преобразованию Это свойство инвариантности менее очевидно из тензорного выражения (6.2.3). Тензор также имеет нулевой след:

что вытекает из выражения (5.2.4). Как инвариантность относительно дуальных поворотов, так и равенство нулю следа являются также свойствами тензора Беля — Робинсона [формулы (4.8.16) и (4.8.12)]. Понятно, что тензор энергии-импульса электромагнитного поля был открыт гораздо раньше, чем тензор Беля — Робинсона . С помощью тензорных методов тензор как аналог тензора было найти труднее. Только в спинорной формулировке они выглядят одинаково просто.

Подставляя выражение (5.2.4) в уравнения Эйнштейна вида (4.6.32) и учитывая, что теперь получаем

что вместе с уравнениями Максвелла без источников (5.1.67) составляет спинорную форму уравнений Эйнштейна — Максвелла (обычно полагают Подстановка же выражения (5.2.4) в (4.10.12) дает

Второй член справа равен нулю в силу равенства (5.1.57); кррме того, простые рассуждения [формула (5.7.16) ниже! показывают, что симметризация в первом слагаемом справа является излишней. Поэтому тождество Бианки принимает вид

Попутно заметим, что следующая модификация тензора Беля — Робинсона для уравнений Эйнштейна — Максвелла, хотя и не является полностью симметричной, имеет нулевую дивергенцию: