Уравнения Эйнштейна

Мы считаем, что пространство-время ддисывается уравнениями Эйнштейна, которые для вакуума имеют вид

Разделяя (4.6.20) на симметричную и антисимметричную части по видим, что уравнение (4.6.27) эквивалентно двум спинорным уравнениям

С учетом космологического члена уравнения Эйнштейна в вакууме принимают вид

где — космологическая постоянная. Эквивалентное спинорное уравнение таково:

В общем случае при наличии источников полевые уравнения с космологическим членом имеют вид

где у — ньютоновская гравитационная постоянная, скорость света (как всегда!) равна единице, а — тензор энергии-импульса источников; это уравнение преобразуется к виду

т. е.

Равенство спинора нулю, как в (4.6.28), означает, что спинор симметричен по В и [формула (4.6.19)]; следовательно, он также симметричен по и а значит — по всем индексам. Замечательно то обстоятельство, что именно при, казалось бы, произвольной размерности четыре и сигнатуре нашего пространства-времени, при которых выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна кривизна полностью характеризуется таким простым и физически естественным объектом, как полностью симметричный спинор с четырьмя индексами. В гл. 8 мы увидим, что это приводит к очень простой схеме классификации кривизны. [Например, если бы сигнатура была то классификация стала бы гораздо более сложной, поскольку тогда потребовались бы два действительных симметричных спинора с четырьмя индексами для описания кривизны; усложнение было бы связано с этой действительностью, поскольку алгебра на комплексном поле значительно проще.]

Из (4.6.11) мы заключаем, что при (как в случае мы всегда имеем

и, следовательно, ввиду и симметричны относительно перестановки пар. индексов. Если дополнительно то они имеют все симметрии спинора (в том числе и циклическое тождество), так как в этом случае

В общем случае можно выделить симметричную часть величины следующим образом [здесь учитываются

симметрии (4.6.3), (4.6.4) и соотношение (2.5.24)]:

С учетом равенства (4.6.19) получаем

где

Спинор играет очень важную роль в теории. Мы называем его гравитационным спинором, поскольку он представляет локальные степени свободы гравитационного поля: это та часть спинора которая остается в отсутствие материи (если ). По причинам, о которых будет сказано в § 8, эту величину называют также конформным спинором Вейля.

Три спинора совместно определяют спинор Вместе с они образуют множество вполне симметричных спиноров, по которым раскладывается спинор Разложение производится в соответствии со схемой формулы (3.3.47) и следующих за ней формул.

Подстановка выражения (4.6.34) в (4.6.1) показывает, что спинор равен выражению вида (4.6.1) с заменой на плюс член, пропорциональный , а именно:

Разложение множителя в скобках с учетом -тождества [формула (2.5.21)

преобразует это в

т. е.

Таким образом, имеем

Путем несколько иных преобразований первое слагаемое выражении (4.6.36) приводится к альтернативной форме

или

Однако в таком представлении в отличие от (4.6.37) свойства симметрии спинора не столь очевидны.

Введем тензоры [формулы (3.4.38), (3.4.39)), обладающие всеми свойствами симметрии спинора

Первый, четвертый и пятый из этих тензоров действительны. Разложение (4.6.38) тензора на неприводимые части (см. гл. 3, § 3) эквивалентно разложению на действительные составляющие

н разложению на комплексные составляющие

Тензоры и принадлежат пространствам в которых реализуются неприводимые представления группы Лоренца [точнее, группы цифрами в скобках указаны половинные числа индексов симметричных спиноров (см. гл. 3, § 3).