Уравнения Эйнштейна
Мы считаем, что пространство-время ддисывается уравнениями Эйнштейна, которые для вакуума имеют вид
Разделяя (4.6.20) на симметричную и антисимметричную части по
видим, что уравнение (4.6.27) эквивалентно двум спинорным уравнениям
С учетом космологического члена уравнения Эйнштейна в вакууме принимают вид
где
— космологическая постоянная. Эквивалентное спинорное уравнение таково:
В общем случае при наличии источников полевые уравнения с космологическим членом имеют вид
где у — ньютоновская гравитационная постоянная, скорость света (как всегда!) равна единице, а
— тензор энергии-импульса источников; это уравнение преобразуется к виду
т. е.
Равенство спинора
нулю, как в (4.6.28), означает, что спинор
симметричен по В и
[формула (4.6.19)]; следовательно, он также симметричен по
и
а значит — по всем индексам. Замечательно то обстоятельство, что именно при, казалось бы, произвольной размерности четыре и сигнатуре
нашего пространства-времени, при которых выполняются вакуумные уравнения Эйнштейна
кривизна полностью характеризуется таким простым и физически естественным объектом, как полностью симметричный спинор с четырьмя индексами. В гл. 8 мы увидим, что это приводит к очень простой схеме классификации кривизны. [Например, если бы сигнатура была
то классификация стала бы гораздо более сложной, поскольку тогда потребовались бы два действительных симметричных спинора с четырьмя индексами для описания кривизны; усложнение было бы связано с этой действительностью, поскольку алгебра на комплексном поле значительно проще.]
Из (4.6.11) мы заключаем, что при
(как в случае
мы всегда имеем
и, следовательно, ввиду
и
симметричны относительно перестановки пар. индексов. Если дополнительно
то они имеют все симметрии спинора
(в том числе и циклическое тождество), так как в этом случае
В общем случае
можно выделить симметричную часть величины
следующим образом [здесь учитываются
симметрии (4.6.3), (4.6.4) и соотношение (2.5.24)]:
С учетом равенства (4.6.19) получаем
где
Спинор
играет очень важную роль в теории. Мы называем его гравитационным спинором, поскольку он представляет локальные степени свободы гравитационного поля: это та часть спинора
которая остается в отсутствие материи (если
). По причинам, о которых будет сказано в § 8, эту величину называют также конформным спинором Вейля.
Три спинора
совместно определяют спинор
Вместе с
они образуют множество вполне симметричных спиноров, по которым раскладывается спинор
Разложение производится в соответствии со схемой формулы (3.3.47) и следующих за ней формул.
Подстановка выражения (4.6.34) в (4.6.1) показывает, что спинор
равен выражению вида (4.6.1) с заменой
на
плюс член, пропорциональный
, а именно:
Разложение множителя в скобках с учетом
-тождества [формула (2.5.21)
преобразует это в
т. е.
Таким образом, имеем
Путем несколько иных преобразований первое слагаемое
выражении (4.6.36) приводится к альтернативной форме
или
Однако в таком представлении в отличие от (4.6.37) свойства симметрии спинора
не столь очевидны.
Введем тензоры [формулы (3.4.38), (3.4.39)), обладающие всеми свойствами симметрии спинора
Первый, четвертый и пятый из этих тензоров действительны. Разложение (4.6.38) тензора
на неприводимые части (см. гл. 3, § 3) эквивалентно разложению на действительные составляющие
н разложению на комплексные составляющие
Тензоры
и
принадлежат пространствам
в которых реализуются неприводимые представления группы Лоренца [точнее, группы
цифрами в скобках указаны половинные числа индексов симметричных спиноров (см. гл. 3, § 3).