Главные изотропные направления

Если учесть не только двумерность спинового пространства, но и тот факт, что кольцо комплексных чисел с делением алгебраически замкнуто, то справедливо следующее предложение:

Предложение

Это разложение единственно с точностью до численных коэффициентов при множителях и порядка множителей. (3.5.18)

Доказательство: Выберем спиновую систему отсчета , такую, что

[Очевидно, что это возможно в силу предложения Пусть элемент имеет компоненты Тогда если имеет а индексов, то

в силу «фундаментальной теоремы алгебры», причем каждый из множителей определяется однозначно с точностью до численного коэффициента и порядкового номера. Рассматривая величины как компоненты спиноров , мы получаем

Таким образом,

для любого элемента нормированного так, что Вследствие однородности уравнения (3.5.21) по эта нормировка оказывается несущественной, а потому уравнение (3.5.21) справедливо для всех . В таком случае требуемый результат следует из предложения (3.3.22).

Представление симметричного спинора в виде симметризованного произведения одноиндексных спиноров называется его каноническим разложением. При этом называются главными спинорами. Всякий спинор, пропорциональный главному, тоже является главным спинором. Направления флагштоков, соответствующих различным главным спинорам, называются главными изотропными направлениями (ГИН), а соответствующие изотропные векторы называются главными изотропными векторами. Таким образом, всякое ГИН есть класс эквивалентности (относительно умножения на число) главных спиноров. Симметричным спинором индексами однозначно определяется неупорядоченное множество ГИН, причем некоторые из них могут совпадать друг с другом. Мы говорим, что главный спинор (ГИН) имеет кратность (-кратно), если он отвечает множителю кратности в произведении (3.5.19) и, следовательно, встречается раз в каноническом разложении. Сумма кратностей ГИН всегда равна

Любой ненулевой симметричный спинор определяется своими ГИН с точностью до комплексного множителя. Для любого заданного множества ГИН с предписанными кратностями такой спинор всегда существует. Отметим, что симметричные -индексные спиноры имеют комплексных (т. е. действительных) степеней свободы, поскольку они имеют независимых компонент Это согласуется с тем, что всякое ГИН определяется одним комплексным числом (например это дает комплексных параметров для всех изотропных направлений, и, кроме того, требуется еще один комплексный параметр — общий численный множитель в

Из (3.5.20) мы видим, что при равенство

выполняется в том и только в том случае, если — главный спинор [формула (2.5.56)]. Рассмотрим случай кратного Пусть есть -кратный главный спинор:

так что повторяется раз в правой части и ни один из спиноров не пропорционален . Тогда выполняя симметризацию в (3.5.23) явно и сворачивая с произведением содержащим сомножителей а, получаем

где

Если же мы свернем обе частиравенства (3.5.23) с произведением сомножителей а, то в результате, очевидно, получим нуль. Таким образом, справедливо следующее предложение:

Предложение

Необходимое и достаточное условие того, что будет -кратным главным спинором для ненулевого симметричного спинора состоит в том, что выражение

равно нулю, если свертка содержит множителей и отлично от нуля, если число множителей на единицу меньше. (3.6.26)

В качестве следствия получаем:

Предложение

Данное предложение прямо следует из (3.5.26), если перейти к фиксированному базису и заменить индексами, принимающими численные значения.

Мы будем называть симметричный спинор изотропным, если все его ГИН совпадают. Приведем критерий изотропности.

Предложение

Симметричный спинор будет изотропным в том и только в том случае, если выполняется условие

Необходимость этого условия очевидна. Чтобы установить его достаточность, выберем спинор так, чтобы выполнялось условие

Тогда наше условие дает

но в силу утверждения (3.5.27) это означает, что существует скаляр такой, что

откуда следует достаточность.

Отметим, что в случае двухиндексного симметричного спинора мы получаем прямым вычислением

Отсюда следует альтернативный критерий изотропности: равенство нулю произведения флвфлв.

Иногда полезно использовать понятие ГИН или главных спиноров даже в том случае, когда По определению считаем, что всякий ненулевой спинор можно считать главным спинором для такого а роль его ГИН играют все изотропные направления. (В этом смысле нулевой спинор не является изотропным.)

Отметим, что не существует простого аналога утверждения (3.5.18), которое позволяет классифицировать спиноры по кратностям их ГИН, для симметричных спиноров, содержащих как штрихованные, так и нештрихованные индексы. Схема, позволяющая провести классификацию таких спиноров, будет рассмотрена в гл. 8, § 7.