2. Метод абстрактных индексов и спинорная алгебра

§ 1. Обоснование метода абстрактных индексов

В гл. 1 мы ввели понятие спин-вектора и выяснили, что его по существу можно представить как изотропный флаг в векторном пространстве Минковского, но с дополнительным свойством: при повороте на вокруг любой оси он возвращается не в исходное состояние, а в состояние с другим спин-вектором, ассоциированным с тем же самым изотропным флагом, но «отрицательным» по отношению к исходному спин-вектору. Спин-векторы образуют двумерное комплексное векторное пространство, так называемое спиновое пространство, на котором определено еще и кососимметричное внутреннее произведение. Опираясь на представление о пространстве-времени, всем операциям можно дать явно геометрическую, лоренц-инвариантную интерпретацию.

Чуть позднее (в § 5) мы изложим алгебру спиноров. Основная идея, которой мы будем при этом руководствоваться, состоит в том, что спиноры могут быть построены на основе представления о спиновом пространстве, подобно тому как тензоры строятся на основе представления о векторном пространстве. В результате выяснится (гл. 3, § 1), что алгебра мировых тензоров в пространстве-времени содержится в спинорной алгебре. Таким образом, спиновое пространство в известном смысле более фундаментально, чем пространство мировых векторов. С концептуальной точки зрения весьма ценно, что спиновое пространство имеет четкую геометрическую пространственно-временную интерпретацию, поскольку это позволяет избежать излишней абстрактности, затемняющей понятие спинора. Хотя в этой и последующих главах мы будем описывать спиноры и спинорные операции в основном в рамках алгебраического подхода, тем не менее каждый такой объект и каждая такая операция имеют глубокий геометрический смысл при пространственно-временном подходе.

Однако наше алгебраическое описание никоим образом не будет опираться на геометрическую интерпретацию. Наши рассуждения могут быть логически независимыми от

геометрической подоплеки, изложенной в гл. 1. Для описания интересующих нас структур мы воспользуемся алгебраическими формулировками, что фактически позволяет пересмотреть всю логику рассуждений. Мы могли бы определить пространственно-временною геометрию, исходя из геометрических структур, которые предстоит построить, и, как только будет ухвачена основная идея, все это покажется весьма простым и естественным. Так что в конечном итоге мы сможем счесть алгебраические правила, определяющие спинорную систему, более первичными, нежели (довольно сложные) явно геометрические построения гл. 1. Наш алгебраический подход охватит даже понятие спинорного объекта. Так что при строгом изложении спинорной алгебры вовсе нет необходимости основываться на приведенных в гл. 1 геометрии и топологии. В общем мы увидим, что геометрические построения будут иметь главным образом концептуальное значение, а для подробных выкладок будет необходим алгебраический метод.

Спинорная алгебра, которую мы намерены построить, будет содержать два разных типа обобщений развитой в гл. 1, § 5 концепции спинового пространства. Прежде всего, оказывается удобным рассматривать не просто спин-вектор в одной-единственной точке пространства-времени, а спин-векторные поля. Это обобщение подобно переходу от понятия вектора в точке к понятию векторного поля. Над мировыми векторами в уединенной точке пространства-времени можно производить операции сложения, умножения на скаляр и скалярного произведения. Такие векторы образуют векторное пространство Минковского, называемое касательным пространством в точке над кольцом скаляров в этой точке с делением. Над векторными полями можно производить точно такие же операции. Например, при сложении двух векторных полей мы, чтобы получить результирующее векторное поле, просто суммируем два вектора в каждой точке. При умножении на скаляр, когда векторное поле нужно умножить на скалярное, значение скалярного поля в каждой точке умножается на вектор в этой точке. Знакомые нам законы (1.1.1), справедливые в векторном пространстве, остаются в силе для векторных и скалярных полей. Здесь возникает только одно новое свойство: скалярные поля образуют лишь коммутативное кольцо с единицей, но не кольцо с делением. (Например, если и — два бесконечно дифференцируемых скалярных поля, то

может оказаться, что не равно нулю только в области, где всюду равно нулю. Тогда но ни ни не должны быть равны нулю, так что существуют делители нуля. Во всяком случае ясно, что если в любой точке, то существовать не может.) В силу этого свойства говорят, что векторные поля образуют не векторное пространство, а систему, которую называют модулем над кольцом скалярных полей [89, 112].

Аналогично, обобщая концепцию спинового пространства — двумерного векторного пространства над кольцом комплексных чисел с делением — мы вводим понятие модуля спин-векторных полей. Тогда скаляры должны быть комплексными скалярными полями, удовлетворяющими определенным требованиям гладкости. Спин-векторным полем определяется в каждой точке пространства-времени изотропный флаг. Изотропный флаг в точке — это некоторая структура в касательном пространстве в этой точке. Такое касательное пространство является векторным пространством Минковского мировых векторов в данной точке. Кроме того, там должны выполняться определенные условия гладкости, чтобы изотропный флаг мог изменяться от точки к точке. И наконец, должны удовлетворяться определенные топологические требования, вытекающие из глобальной непротиворечивости понятия спинорного объекта. Все это будет подразумеваться в аксиомах той конкретной системы, которую мы собираемся построить. По существу наше первое обобщение включает в себя переход от векторного пространства над кольцом с делением к модулю над кольцом.

Второе обобщение содержит переход от «унивалентных» объектов (спин-векторов) к «поливалентным» объектам (спинорам). Это обобщение строится подобно тому, как от понятия обычного вектора переходят к понятию тензора. Процедура построения совершенно одинакова вне зависимости от того, исходим ли мы из (спин-) векторов в одной точке, или из (спин-) векторных полей. В общем мы не будем сильно вдаваться в подробности по поводу типа системы, с которой имеем дело. Мы сможем значительно развить второе обобщение еще до того как начнем вникать в подробности первого.