§ 3. Условия Райнича

Как было показано в предыдущем параграфе, максвелловский тензор энергии-импульса действителен, симметричен и имеет следующие свойства:

для любой пары направленных в будущее причинных векторов

Все они автоматически следуют из спинорного представления [формула (5.2.2)] с учетом равенства и действительности и положительности коэффициента Верно и обратное: для любого действительного симметричного тензора обладающего свойствами (5.3.1) в любой заданной точке, существует соответствующая спинорная форма в этой точке и существуют действительные кососимметричные решения уравнения (5.2.3); более того, все такие решения получаются друг из друга с помощью дуальных поворотов [формула (3.4.42)]. Этот результат впервые был установлен Райничем, и требования (5.3.1) получили название условий Райнича. Позже результат был заново открыт Мизнером и Уилером [117] и лег в основу развитой ими «геометродинамики». Разумеется, чтобы допускать интерпретацию тензора электромагнитного поля, тензор должен удовлетворять уравнениям Максвелла, и потому должны быть наложены некоторые дальнейшие (дифференциальные) ограничения на тензор чтобы он мог быть тензором энергии-импульса реального электромагнитного поля. Эти условия (для неизотропных полей) также были впервые разработаны Райничем, а затем вновь открыты Мизнером и Уилером [117]. По-видимому, можно утверждать, что эта теория наиболее просто выглядит в спинорном формализме, в котором впервые ее представил Виттен [198]; наше изложение ниже несколько отличается от его формулировки.

Пусть задан действительный симметричный тензор обладающий свойствами (5.3.1). Возвращаясь к соотношениям (3.4.4) — (3.4.6), нетрудно видеть, что в силу свойства I [формула (5.3.1)] справедливо равенство

Соотношение II [формула (5.3.1)] в спинорной форме имеет вид

Отсюда, применяя формулу (2.5.23), получаем

и, следовательно,

Используя свойства симметрии (5.3.2) для перестановки и и производя переобозначение индексов

получаем

Складывая это равенство с (5.3.3) и раскрывая некоторые симметризации, находим

где введены обозначения Воспользовавшись вновь свойством симметрии (5.3.2) и переобозначив индексы, из (5.3.5) получаем

Складывая с (5.3.5) и повторяя операции, приведшие к (5.3.5), найдем

где . Это эквивалентно равенству

Выберем теперь произвольный отличный от спинор X и умножим обе части равенства (5.3.8) на это приводит (в областях, в которых ) к соотношению

которое, благодаря действительности тензора имеет требуемый вид

во всякой точке, где — действительный скаляр [формула (3.5.5)]. Последнее из условий Райнича [III в формуле (5.3.1)] означает, что любой такой скаляр заданный соотношениями (5.3.10) и (5.3.9), положителен. Поэтому можно нормировать поле так, чтобы выполнялось равенство как в формуле (5.2.4). Тензор введенный соотношением (5.1.39), автоматически удовлетворяет условию (5.2.3), и тем самым установлено существование решения (5.2.3) во всякой точке. Очевидно, что это решение не единственно, поскольку преобразование — действительно) оставляет (5.2.4) без изменений и соответствует дуальному повороту [формулы (3.4.42), (3.4.43)]. В то же время ясно, что это единственный произвол, который допускает соотношение (5.3.10) во всякой

точке [формула (3.5.2)]. Таким образом, алгебраическая часть теории Райнича доказана.

Прежде чем переходить к дифференциальной части этой теории, посмотрим, каков смысл величины, характеризующей электромагнитное поле, которую Мизнер и Уилер называют комплексией (complexion). Как мы видели выше, все полевые тензоры имеющие одинаковый тензор энергии-импульса отличаются друг от друга дуальным поворотом в каждой точке. Во всех таких классах, кроме случая (изотропное поле), существуют два и только два поля, различающиеся лишь знаком, которые являются «чисто электрическими», т. е. имеют инварианты (см. текст после формулы (5.1.70)]. Действительно, пусть — любое поле из выбранного класса, — соответствующий ему спинор и инвариант ( действительно и положительно). Тогда поле будет описываться спинором и при любом выборе знака мы имеем что отвечает чисто электрическому полю в соответствии с определением (5.1.68). Очевидно, что Угол заданный с точностью до целого кратного , и называют комплексией поля это угол, на который нужно совершить дуальный поворот, чтобы превратить (дуальный угол). Этот параметр становится неопределенным, лишь когда поле изотропно. Но в общем случае поле становится изотропным на некоторой двумерной поверхности (поскольку уравнение соответствует двум действительным уравнениям в четырехмерном пространстве). Таким образом, тензор «общего вида», удовлетворяющий условиям (5.3.1), также будет давать на некой двумерной поверхности, на которой дуальный угол становится неопределенным. Может оказаться, что область пространства-времени, из которой удалена рассматриваемая поверхность, не является односвязной: двумерная поверхность как раз является многообразием нужного для этого числа измерений в четырехмерном пространстве. Выбрав некоторую замкнутую кривую вокруг такой 2-поверхности, можно непрерывным образом превратить так что постоянный глобальный выбор знака поля становится невозможным. Эта трудность возникает еще до того, как мы переходим к рассмотрению полевых уравнений Райнича. Поэтому, чтобы продвинуться дальше, мы будем предполагать, что рассматривается такая область пространства-времени, в которой поле может быть задано имеющим постоянный знак. Более того, будем предполагать, что поле можно выбрать гладким — что само по себе не следует из предположения о гладкости поля если существуют области, в которых обращается в нуль.