Конформно-инвариантные операторы
В заключение данного параграфа покажем, каким образом можно усовершенствовать модифицированный формализм спиновых коэффициентов, развитый в гл. 4, § 12, с тем чтобы сделать соответствующие операции конформно-инвариантными. Напомним, что при («калибровочном») преобразовании диады
скалярная величина
типа
изменяется [согласно определению (4.12.9)] следующим образом:
Теперь предположим, что величина
обладает также конформным весом
, следовательно, при конформном преобразовании диады (5.6.21) изменяется так:
[Данное преобразование коммутирует с преобразованием
]. Тогда можно ввести новые модифицированные операторы
действие которых на такие дважды взвешенные скаляры определяется соотношениями
Непосредственным вычислением можно убедиться в том, что
т. е. операторы
являются конформно-взвешенными с весами
соответственно [в смысле определений (4.12.17) с необходимыми изменениями
]. Они также являются и
-взвешенными операторами тех же самых типов (4.12.17), что и операторы
соответственно.
Заметим, что в соответствии с этими определениями операторы
вообще говоря, не являются действительными, а операторы
и 6% не являются комплексно-сопряженными друг к другу в противоположность операторам (4.12.30). При желании можно было бы иметь дело с действительными операторами
и комплексно-сопряженной парой
Это было бы немного сложнее, но в принципе давало бы эквивалентную формулировку, поскольку разности
и т. д. просто выражаются через конформно-взвешенные величины
[формула (5.6.29)], представляющие собой «допустимые» элементы данного исчисления. «Изъятию из обращения», однако, подлежат величины
не являющиеся конформновзвешенными, равно как и
в отдельности [см. текст перед формулой (4.12.15)].
Как мы видели в формуле (5.6.22), величина
имеет конформный вес
поэтому в силу формул (5.6.33) и (4.12.23) имеем
Если нормировка
не изменяется (например, когда
и представляют собой спиновые системы отсчета до и после изменения масштаба), мы имеем
Тогда, вводя обозначения
как в формуле (4.12.10), упростим выражения (5.6.33) следующим образом:
С помощью этих операторов можно упростить различные конформно-инвариантные уравнения, записанные в модифицированном формализме спиновых коэффициентов. Заметим для будущего, что уравнения для свободных безмассовых полей,
приведенные в этом формализме в формуле (4.12.44) (к более подробному обсуждению которых мы обратимся в следующем параграфе), могут быть представлены в форме
а твисторное уравнение (4.12.46) принимает вид
В этих уравнениях величины
выбраны имеющими конформный вес —1 и 0 соответственно. Получающиеся значения
для различных компонент
зависят от выбора
в формуле (5.6.21), но это не приводит к различию в определениях, поскольку коэффициенты в дополнительных членах в точности компенсируются изменением
Заметим также, что если выбрать 2-форму
и 3-форму у имеющими нулевой конформный вес, то уравнение для внешней производной
[формула (4.14.80)], как следует из соотношения (4.14.81), может быть записано в виде
а уравнение (4.14.92) принимает форму
Дальнейшие применения этих операторов можно найти в гл. 5, § 12; гл. 9, § 8 и 9.