Конформно-инвариантные операторы

В заключение данного параграфа покажем, каким образом можно усовершенствовать модифицированный формализм спиновых коэффициентов, развитый в гл. 4, § 12, с тем чтобы сделать соответствующие операции конформно-инвариантными. Напомним, что при («калибровочном») преобразовании диады

скалярная величина типа изменяется [согласно определению (4.12.9)] следующим образом:

Теперь предположим, что величина обладает также конформным весом , следовательно, при конформном преобразовании диады (5.6.21) изменяется так:

[Данное преобразование коммутирует с преобразованием ]. Тогда можно ввести новые модифицированные операторы действие которых на такие дважды взвешенные скаляры определяется соотношениями

Непосредственным вычислением можно убедиться в том, что

т. е. операторы являются конформно-взвешенными с весами соответственно [в смысле определений (4.12.17) с необходимыми изменениями ]. Они также являются и -взвешенными операторами тех же самых типов (4.12.17), что и операторы соответственно.

Заметим, что в соответствии с этими определениями операторы вообще говоря, не являются действительными, а операторы и 6% не являются комплексно-сопряженными друг к другу в противоположность операторам (4.12.30). При желании можно было бы иметь дело с действительными операторами и комплексно-сопряженной парой Это было бы немного сложнее, но в принципе давало бы эквивалентную формулировку, поскольку разности и т. д. просто выражаются через конформно-взвешенные величины [формула (5.6.29)], представляющие собой «допустимые» элементы данного исчисления. «Изъятию из обращения», однако, подлежат величины не являющиеся конформновзвешенными, равно как и в отдельности [см. текст перед формулой (4.12.15)].

Как мы видели в формуле (5.6.22), величина имеет конформный вес поэтому в силу формул (5.6.33) и (4.12.23) имеем

Если нормировка не изменяется (например, когда и представляют собой спиновые системы отсчета до и после изменения масштаба), мы имеем Тогда, вводя обозначения как в формуле (4.12.10), упростим выражения (5.6.33) следующим образом:

С помощью этих операторов можно упростить различные конформно-инвариантные уравнения, записанные в модифицированном формализме спиновых коэффициентов. Заметим для будущего, что уравнения для свободных безмассовых полей,

приведенные в этом формализме в формуле (4.12.44) (к более подробному обсуждению которых мы обратимся в следующем параграфе), могут быть представлены в форме

а твисторное уравнение (4.12.46) принимает вид

В этих уравнениях величины выбраны имеющими конформный вес —1 и 0 соответственно. Получающиеся значения для различных компонент зависят от выбора в формуле (5.6.21), но это не приводит к различию в определениях, поскольку коэффициенты в дополнительных членах в точности компенсируются изменением

Заметим также, что если выбрать 2-форму и 3-форму у имеющими нулевой конформный вес, то уравнение для внешней производной [формула (4.14.80)], как следует из соотношения (4.14.81), может быть записано в виде

а уравнение (4.14.92) принимает форму

Дальнейшие применения этих операторов можно найти в гл. 5, § 12; гл. 9, § 8 и 9.