§ 5. Спинорная алгебра

Для построения спинорной алгебры мы будем пользоваться теорией, рассмотренной в предыдущих параграфах, применяя ее к случаю базисного модуля состоящего из -спин-векторных полей на пространственно-временном многообразии. Нас также будет интересовать случай, когда состоит из спин-векторных полей в одной точке пространства-времени, так что становится спиновым пространством в этой точке. Во втором случае кольцо скаляров представляет собой кольцо комплексных чисел с делением. В первом случае оно является кольцом -комплексных скалярных полей.

Напомним, что имеются три основные алгебраические операции, которые можно совершать над спин-векторами. Это умножение на скаляр [формулы (1.6.1) и (1.6.4)], сложение [формулы (1.6.2) и (1.6.5)] и антисимметричное внутреннее произведение [формулы (1.6.3) и (1.6.6)]. Указанные операции могут выполняться над спин-векторами в произвольной одной точке (так что спин-векторы относятся к одному и тому же векторному пространству Минковского, а именно касательному пространству в этой точке), причем в этом случае выполняются свойства (1.6.8) — (1.6.19). (Эти свойства означают, в частности, что спиновое пространство есть комплексное двумерное векторное пространство.) Мы можем расширить эти операции таким образом, чтобы они применялись к спин-векторным полям на пространстве-времени, просто применяя их к спин-векторам в каждой точке отдельно. Тогда свойства (1.6.8) — (1.6.19) для спин-векторных полей будут сохраняться. Из свойств (1.6.8) — (1.6.15) теперь вытекает, что является модулем над комплексными скалярами Таким образом, вводя систему меток

мы можем применять теорию, развитую в § 2, и получать канонически изоморфные копии модуля обозначаемые через Всякий спин-вектор (спин-векторное поле) будет иметь образы и раньше, мы можем определить дуальные этим -модулям модули , следовательно, общие множества вида на основе полилинейных отображений (т. е. как классы эквивалентности формальных сумм тензорных произведений.) Рассуждениями § 4 устанавливается, что модуль вполне рефлексивен. Элементы общих множеств и называются спинорами. Однако такие спиноры не являются наиболее общими. Определение общего спинора мы скоро введем. Но сначала исследуем свойства этих частных спиноров.