§ 5. Спинорная алгебра
Для построения спинорной алгебры мы будем пользоваться теорией, рассмотренной в предыдущих параграфах, применяя ее к случаю базисного модуля состоящего из 
-спин-векторных полей на пространственно-временном многообразии. Нас также будет интересовать случай, когда 
состоит из спин-векторных полей в одной точке пространства-времени, так что 
становится спиновым пространством в этой точке. Во втором случае кольцо скаляров 
представляет собой кольцо комплексных чисел с делением. В первом случае оно является кольцом 
-комплексных скалярных полей.
Напомним, что имеются три основные алгебраические операции, которые можно совершать над спин-векторами. Это умножение на скаляр [формулы (1.6.1) и (1.6.4)], сложение [формулы (1.6.2) и (1.6.5)] и антисимметричное внутреннее произведение [формулы (1.6.3) и (1.6.6)]. Указанные операции могут выполняться над спин-векторами в произвольной одной точке (так что спин-векторы относятся к одному и тому же векторному пространству Минковского, а именно касательному пространству в этой точке), причем в этом случае выполняются свойства (1.6.8) — (1.6.19). (Эти свойства означают, в частности, что спиновое пространство есть комплексное двумерное векторное пространство.) Мы можем расширить эти операции таким образом, чтобы они применялись к спин-векторным полям на пространстве-времени, просто применяя их к спин-векторам в каждой точке отдельно. Тогда свойства (1.6.8) — (1.6.19) для спин-векторных полей будут сохраняться. Из свойств (1.6.8) — (1.6.15) теперь вытекает, что 
является модулем над комплексными скалярами 
Таким образом, вводя систему меток
обозначаемые через 
Всякий спин-вектор (спин-векторное поле) 
будет иметь образы 
и раньше, мы можем определить дуальные этим 
-модулям модули 
, следовательно, общие множества вида 
на основе полилинейных отображений (т. е. как классы эквивалентности формальных сумм тензорных произведений.) Рассуждениями § 4 устанавливается, что модуль 
вполне рефлексивен. Элементы общих множеств и называются спинорами. Однако такие спиноры не являются наиболее общими. Определение общего спинора мы скоро введем. Но сначала исследуем свойства этих частных спиноров.
