§ 3. Производные, не зависящие от связности

Одно из преимуществ введения связности на многообразии в том, что она позволяет сделать операцию дифференцирования алгоритмичной. Операции, которые определены независимо от связности, образуют своего рода особый «зверинец». Тем не менее некоторые из них очень важны. Мы сначала перечислим несколько известных операций, не зависящих от связности, а затем обсудим наиболее важные из них подробнее.

Все нижеследующие выражения (4.3.1) — (4.3.6) [а также (4.3.45)] не зависят от выбора оператора симметричной ковариантной производной

Инвариантность каждого из этих выражений при изменении симметричного оператора связности показывается непосредственно с помощью правил, изложенных ранее. Вычисляя разность между данным выражением и его аналогом, содержащим мы получаем на основании формулы (4.2.48) сумму слагаемых, содержащих которые обращаются в нуль в каждом случае ввиду симметрии

выражающей тот факт, что оба тензора не содержат кручения [формула (4.2.50)].

Выражения (4.3.1) — (4.3.6) имеют то преимущество, что они приобретают особенно простой вид при переходе к компонентам. В любой координатной системе вместо операторов можно использовать др. При переходе к компонентам они просто заменяются на

Внешнее дифференцирование

Исследуем подробнее выражение (4.3.1). Имеем

так как в силу равенства (4.3.7) обращается в нуль каждое слагаемое. Не зависящая от связности операция (4.3.1) служит основой замкнутой системы внешнего исчисления дифференциальных форм Картана. Базисные объекты этой системы исчисления — антисимметричные ковариантные тензоры. Ее операции столь просты, что в индексах нет необходимости и они, как правило, даже бесполезны.

Соответствие между обозначениями Картана и нашими устанавливается на основе правила отбрасывания индексов, которое формулируется следующим образом. Выберем фиксированный бесконечный подкласс индексов-меток, скажем,

в качестве тех индексов, которые мы собираемся отбрасывать. Отбрасываться могут только нижние индексы, причем они

должны быть расположены в естественном порядке, начиная с . Если мы хотим буквально воспроизвести систему исчисления Картана, то должны работать только с антисимметричными тензорами с нижиими индексами Такой тензор мы называем -формой и пишем

При этом -формы есть просто скаляры, а -формы отвечают векторам. В соответствии с (3.3.30) каждая -форма есть скаляр, умноженный на в силу (3.3.27) всякая -форма при равна нулю.

Иногда рассматривают тензорнозначные -формы, и тогда оказываются полезными следующие обозначения:

где — тензор, антисимметричный по Строго говоря, при этом мы выходим за рамки системы внешнего исчисления.

На множестве дифференциальных форм вводится три операции, а именно: сложение, внешнее произведение и внешняя производная. Сложение -формы с -формой допускается только при условии (Иногда строят системы внешнего исчисления, допускающие: суммы с См. также т. 2, приложение.) Сумма двух -форм А и В есть тоже -форма, определенная следующим образом:

Внешнее произведение -формы А на -форму С есть -форма По определению

Внешняя производная -формы А есть -форма которая в случае симметричной связности определяется следующим образом:

и, как мы видели, не зависит от выбора Заметим, что при это определение согласуется с определением скаляра, данным в (4.1.32). Если операторы действуют на скаляры,

фактически можно писать Справедливы следующие соотношения:

Подразумевается, что складываемые формы имеют одинаковую валентность. В справедливости каждого из этих соотношений можно убедиться непосредственно, исходя из определений (4.2.12) — (4.2.14). Например, проверим выполнение соотношения V

Чтобы проверить соотношение VIII, выберем какой-нибудь конкретный оператор скажем оператор др, для которого кривизна и кручение равны нулю. (Данное условие может выполняться лишь локально, но нам этого достаточно.) Имеем

поскольку Этот результат иногда называют леммой Пуанкаре, а иногда — обратной леммой Пуанкаре [более глубокий результат состоит в том, что локально из равенства следует равенство для некоторого А; см. формулу (6.5.27)]. Внешняя производная обобщает понятие ротора. Хорошо известные формулы векторного аналйза можно рассматривать как частные случаи леммы Пуанкаре.

В координатном базисе можно написать

где компоненты образуют антисимметричный тензор. Используя соотношение

можно переписать (4.3.18) в виде дифференциальной формы

(Логичнее было бы писать символ также между и первым но умножение на скаляр, хотя и является частным случаем внешнего произведения, обычно записывается без такого символа.)

Отметим, что в литературе для компонент -формы часто применяется обозначение

а не Такое обозначение проще только в том случае, если не используется правило суммирования по повторяющимся индексам. В этом случае выражение (4.3.20) записывается в виде

Определение, принятое здесь, совместно с обозначением антисимметризации квадратными скобками автоматически учитывает численные множители, неизбежно возникающие в обозначениях вида (4.3.22). В наших обозначениях компоненты внешнего произведения и внешней производной записываются в виде

Одно из наиболее важных приложений дифференциальных форм основано на фундаментальной теореме внешнего исчисления. Если есть ориентируемая -мерная поверхность в ориентируемом М, то мы определяем интеграл -формы А по следующим образом:

для всякой поверхности представимой в некоторых координатах набором уравнений Если это не так в целом, то подобное представление возможно для отдельных

кусков поверхности и весь интеграл представляется в виде суммы интегралов по отдельным кускам. Такое представление не зависит от специального выбора координат. Фундаментальная теорема внешнего исчисления утверждает, что

где есть компактная -мерная поверхность с границей