Кручение и кривизна

Все свойства оператора установленные выше, формально совпадают со свойствами «координатного оператора градиента» Существенно новым свойством является то, что операторы не обязательно коммутируют друг с другом. Для его исследования положим

Заметим, что

в силу формулы (4.2.10), а также

в силу формулы (4.2.11), так как перекрестные слагаемые взаимно уничтожаются.

Теперь рассмотрим , где — любой скаляр. Если есть произвольный элемент множества то в силу формул (4.1.42), (4.2.15) и (4.2.16) получаем

для всех Таким образом, из (4.1.11) следует, что есть оператор дифференцирования, откуда с помощью (4.1.40) получаем

где — некоторый определенный элемент множества и операторы действуют на скаляры. Отображение из которое сопоставляет всякому по правилу (4.2.20), очевидно, является -линейным. [Если имеет место (4.2.20) и то следует, что это отображение осуществляется тензором Его называют тензором кручения-.

Подставив это в 4.2.20, мы получим (на скалярах). Поскольку это справедливо для любого имеем

для всех Заметим, что ввиду антисимметрии оператора Дар [формула (4.2.14)] тензор кручения антисимметричен по нижним индексам:

Если то оператор называется симметричной («без кручения») ковариаитной производной.

Далее рассмотрим действие оператора на вектор. Если кручение отлично от нуля, то гораздо проще работать с оператором

поскольку

для всех Тогда соотношение (4.2.16)

[формула (4.2.11)] сводится к равенству

если С? есть скаляр . С учетом формул (4.2.15) и (4.2.10) получаем

Из формул (4.2.27) и (4.2.28), примененных к элементам множества (т. е. при мы видим, что отображение определенное как

оказывается -линейным. Следовательно, оно осуществляется с помощью тензора называемого тензором кривизны

Подставляя сюда выражение для дар, получаем

В силу равенства (4.2.26) имеем Отсюда и из соотношения (4.2.26) следует Подставляя сюда (4.2.30), находим

Чтобы вычислить действие оператора дар на произвольный тензор мы можем разложить его на сумму прямых произведений векторов [формула (2.2.14)], а затем, используя «правило Лейбница», вычислить действие оператора дар на каждое слагаемое. В результате получаем (обобщенное) тождество Риччи:

Заметим, что благодаря антисимметрии оператора дар [формулы (4.2.23) и (4.2.24) ], мы имеем

Мы получим дальнейшие тождества (Бианки), устанавливающие свойства симметрии тензора выбрав в (4.2.32) Для простоты мы проведем явный расчет лишь для случая, когда кручение равно нулю. В этом случае мы имеем

Выполняя антисимметризацию по и используя (3.3.9), получаем

где учтено, что кручение равно нулю. Поскольку принимает любые значения в произвольно выбранной точке, мы имеем во всякой точке

С учетом (4.2.34) это переписывается в виде

Если кручение отлично от нуля, то вычисления проводятся аналогично, но оказываются более сложными. Результат имеет вид

Далее, разложим [как в формуле (4.2.36)] двумя разными способами. В первом случае используем антисимметрию по и тождество (4.2.33), в котором тензор полагаем равным Во втором случае используем антисимметрию по и формулу (4.2.31). Мы вновь выполним явный расчет лишь для нулевого кручения. В этом случае мы имеем

Вычитая одно выражение из другого, с учетом (4.2.37) получаем тождество Бианки:

Если кручение отлично от нуля, то вычисления проводятся аналогично, но оказываются более сложными (приложение, рис. П.9). Результат таков:

Вскоре мы рассмотрим альтернативный метод получения тождеств (4.2.39) и (4.2.43) [формулы (4.2.52) и далее].