Кручение и кривизна
Все свойства оператора
установленные выше, формально совпадают со свойствами «координатного оператора градиента»
Существенно новым свойством является то, что операторы
не обязательно коммутируют друг с другом. Для его исследования положим
Заметим, что
в силу формулы (4.2.10), а также
в силу формулы (4.2.11), так как перекрестные слагаемые
взаимно уничтожаются.
Теперь рассмотрим
, где
— любой скаляр. Если есть произвольный элемент множества
то в силу формул (4.1.42), (4.2.15) и (4.2.16) получаем
Из формул (4.2.27) и (4.2.28), примененных к элементам множества
(т. е. при
мы видим, что отображение
определенное как
оказывается
-линейным. Следовательно, оно осуществляется с помощью тензора
называемого тензором кривизны
Подставляя сюда выражение для дар, получаем
В силу равенства (4.2.26) имеем
Отсюда и из соотношения (4.2.26) следует
Подставляя сюда (4.2.30), находим
Чтобы вычислить действие оператора дар на произвольный тензор мы можем разложить его на сумму прямых произведений векторов [формула (2.2.14)], а затем, используя «правило Лейбница», вычислить действие оператора дар на каждое слагаемое. В результате получаем (обобщенное) тождество Риччи:
Заметим, что благодаря антисимметрии оператора дар [формулы (4.2.23) и (4.2.24) ], мы имеем
Мы получим дальнейшие тождества (Бианки), устанавливающие свойства симметрии тензора
выбрав в (4.2.32)
Для простоты мы проведем явный расчет лишь для случая, когда кручение равно нулю. В этом случае мы имеем
Выполняя антисимметризацию по
и используя (3.3.9), получаем
где учтено, что кручение равно нулю. Поскольку
принимает любые значения в произвольно выбранной точке, мы имеем во всякой точке
С учетом (4.2.34) это переписывается в виде
Если кручение отлично от нуля, то вычисления проводятся аналогично, но оказываются более сложными. Результат имеет вид
Далее, разложим
[как в формуле (4.2.36)] двумя разными способами. В первом случае используем антисимметрию по
и тождество (4.2.33), в котором тензор
полагаем равным
Во втором случае используем антисимметрию по
и формулу (4.2.31). Мы вновь выполним явный расчет лишь для нулевого кручения. В этом случае мы имеем
Вычитая одно выражение из другого, с учетом (4.2.37) получаем тождество Бианки:
Если кручение отлично от нуля, то вычисления проводятся аналогично, но оказываются более сложными (приложение, рис. П.9). Результат таков:
Вскоре мы рассмотрим альтернативный метод получения тождеств (4.2.39) и (4.2.43) [формулы (4.2.52) и далее].