§ 4. Свойство модуля ... быть вполне рефлексивным на многообразии

При условии, что на существует конечный базис, свойство быть вполне рефлексивным установлено в § 3. Но, как мы уже видели, для векторных полей на многообразии (например, на базис может и не существовать. Поскольку свойство модуля быть вполне рефлексивным является важным и общим, мы посвятим данный параграф обсуждению этого свойства в случае произвольного (хаусдорфова паракомпактного) многообразия на котором 1) условия дифференцируемости для скаляров — понимаемых как поля комплексных чисел — являются существенно неограниченными (скажем, или но не с тем чтобы было обеспечено «отделение единицы» [формула (2.4.4) ниже] и 2) в существует локальный базис. (Читатель, которого удовлетворяют соображения физического характера в пользу существования базиса, может перейти к § 5.)

Выше в данной главе мы имели дело с алгебраическими рассмотрениями, которые касались лишь алгебры тензоров, образованных из модуля Свойства «множества точек» на котором можно определить и даже само существование такого множества точек не обсуждались. В гл. 4, где вводятся дифференциальные операторы, нам необходимо более детально исследовать множество Однако здесь мы будем заниматься только лишь двумя указанными выше свойствами множества как «многообразия», которые позволят нам установить свойство модуля быть вполне рефлексивным в духе этой главы, а именно алгебраически.

Чтобы дать алгебраическое определение «тензоров, определенных локально» на нам необходимо определение тензоров, ограниченных некоторым (открытым) подмножеством множества «окрестностью» интересующей нас точки. Рассмотрим произвольный элемент и открытое множество а точек множества для которых Определим отношение -эквивалентности тензоров следующим образом:

при необходимом и достаточном условии

означающем равенство тензорных полей, «ограниченных на Заметим, что без потери общности мы можем полагать неотрицательной величиной, поскольку равенство (2.4.2) выполняется в том и только в том случае, когда выполняется равенство (2.4.2), умноженное на

Пусть теперь символ обозначает множество классов -эквивалентности (2.4.1). Нетрудно убедиться, что при обычном определении сумм и произведений является коммутативным кольцом с единицей (т. е. произведение класса -эквивалентности элементов а на класс -эквивалентности элементов есть класс -эквивалентности элементов если то мы имеем откуда ab ss cd и т. д.). Кроме того, как нетрудно убедиться, есть модуль над

Единственным новым свойством -модуля которое мы должны потребовать (и для наличия которого мы выше ввели условия 1 и 2), является следующее.

Свойство (2.4.3)

Существует конечный набор неотрицательных элементов и, таких что

и таких, что существует базис для каждого модуля

Посмотрим сначала, почему это свойство могло бы иметь место в случае произвольного (хаусдорфова паракомпактного) многообразия на котором скаляры и (векторные или спинорные) поля относятся, скажем, к классу Для каждого область, где представляет собой открытое множество с и ввиду равенства (2.4.4) можно заключить, что

указанные множества покрывают

Наоборот, если существует произвольное конечное покрытие множества открытыми множествами такое, что каждое может быть определено отличным от нуля и неотрицательным , то справедливо равенство (2.4.4). Действительно, определив

получим всюду на поэтому существует и мы можем удовлетворить требованию (2.4.4), положив

Такая система величин и на называется разбиением единицы.

Чтобы получить на требуемое покрытие (2.4.5), проведем следующее построение. Выберем триангуляцию множества такую, чтобы звезда каждой вершины (т. е. объединение всех -симплексов, проходящих через эту вершину) обладала следующим свойством: для полей, ограниченных на внутренней части звезды, существует базис. Выберем теперь непрерывно ограниченную открытую окрестность каждой вершины (т. е. координатный шар), достаточно малую для того, чтобы все указанные окрестности были отделены друг от друга и каждая находилась в пределах звезды рассматриваемой вершины. Если содержит -поля, то из существования «колоколообразных функций» (4.1.5) вытекает, что каждая выбранная окрестность может быть определена посредством неравной нулю неотрицательной функции Очевидно, что мы можем сложить все эти функции, получив, скажем, и затем задать объединение всех этих окрестностей условием , причем На будет существовать базис, ограниченный в свою очередь на каждой окрестности. Рассматривая все указанные базисы вместе, получим базис в

Части ребер триангуляции, не лежащие в образуют несвязную систему замкнутых сегментов, которая может быть покрыта открытым множеством снова представляющим собой объединение несвязных открытых множеств (с непрерывными ограничениями), причем каждое такое множество покрывает сегмент ребра и лежит в звезде этого ребра (т. е. в объединении -симплексов, проходящих через рассматриваемое ребро. Опять же мы можем добиться того, чтобы множество определялось

условием для некоторой функции и базис в будет существовать.

Части граней (-симплексов), не содержащиеся будут несвязны и, как и раньше, мы можем покрыть их системой отделенных друг от друга открытых множеств, объединение которых образует Как и раньше, мы можем добиться того, чтобы множество определялось условием причем и базис в будет существовать. Части 3-симплексов, не содержащиеся в опять будут несвязны, и процесс продолжается до тех пор, пока не будут покрыты -симплексы. Продолжая рассуждения, получаем обоснование свойства (2.4.3) размерности многообразия Ж), поскольку ясно, что в силу .

Воспользовавшись (2.4.3), мы можем теперь доказать, что свойство быть вполне рефлексивным опирается на рассуждения § 3, где предполагалось существование базиса в . Для этой цели дадим сначала более полное определение тензоров типа III [формула (2.3.13)], являющееся по существу «классическим» определением. Рассмотрим произвольный модуль и определим его базис и дуальный базис классами эквивалентности величин

соответственно. (Если рассматривать многообразие то они могли бы быть базисом и дуальным базисом внутри но произвольными вне Имеем

(Суммирования по нет.) Для каждой валентности рассмотрим совокупности

(где число индексов а, у равно , а число индексов равно классы -эквивалентности которых определяют произвольные множества элементов из Рассмотрим также соответствующие тензоры типа II

(ср. с величинами (2.3.14), элементами модуля Для каждого вместо мы тоже можем рассматривать совокупности вида (2.4.10) и тензоры вида (2.4 11). Чтобы две такие совокупности (2.4.10) были совместимы, мы потребуем, чтобы закон (2.3.24) классического тензорного преобразования выполнялся в «области перекрывания»:

где

(В связи с наличием одновременных координатных систем мы здесь не пользуемся обычной системой обозначений для индексов компонент в различных системах.) Условия совместности (2.4.12) гарантируют, что в области перекрывания соответствующие тензоры (2.4.11) удовлетворяют соотношению

[формулы (2.4.11), (2.4.9)]. Тензор типа III состоит из одной совокупности элементов из каждого модуля причем эти совокупности связаны одна с другой соотношением (2.4.12).

Чтобы показать эквивалентность этих трех типов тензоров (при заданном базисе), опять как и в § 3, рассмотрим три отображения первое из которых приписывает каждому тензору типа II единственный тензор типа I, и т. д.; затем мы показываем, что каждая из трех циклических перестановок указанных отображений дает тождество. Отображения, с которыми мы имеем дело сейчас, тесно связаны с отображениями § 3. Отображение в действи тельности то же самое, а именно задаваемое формулой (2.2 17). Чтобы определить отображение мы должны лишь конкретизировать для каждого модуля компоненты полилинейного отображения стандартным путем [формула

причем класс -эквивалентности независим (ввиду полилинейности) от частного представителя (2.4.8) базиса и дуального базиса в [Это можно показать, взяв произведение

величины (2.4.15) заменив и каждым базисным элементом по очереди.] Ясно, что условие совместности (2.4.12) выполняется [в силу (2.4.9)], и, таким образом, мы имеем единственный тензор типа III. Определим затем отображение Как и в случае (2.4.11), пусть каждой совокупностью определяется соответствующее отображение положим

Поскольку каждая совокупность (2.4.11) представляет собой линейную сумму тензорных произведений, как в (2.4.16), тензор типа II тем самым определен. Все три необходимые отображения теперь конкретизированы.

Утверждение, что отображение II I приводит к тождеству на множестве тензоров типа I, фактически получается так же, как и в (2.3.15), за исключением того, что теперь в исходном выражении появляется сумма Для каждого разложим векторы на их компоненты относительно базисов в замечая, что

Используя на заключительном шаге (2.4.4), мы получаем то же самое окончательное выражение, что и в (2.3.15), которое нужно было доказать. Аналогично, цепочка отображений приводит к тождеству на тензорах типа II, что устанавливается путем таких же рассуждений, как и в (2.3.17), за исключением использования суммы Чтобы получить нужный результат, мы применяем формулы (2.4.17), (2.4.18), (2.4.9) и, наконец, (2.4.4).

Эквивалентность тензоров типов I и II и, следовательно, свойство модуля быть вполне рефлексивным теперь установлены. Тем не менее представляет интерес продемонстрировать, что цепочка III также дает тождество на тензорах типа III, что говорит о том, что «классическое» определение тензоров типа III эквивалентно двум другим. Фактически закон (2.4.12) «классического» тензорного преобразования до сих пор существенно не использовался. Без него же

отображение все еще дает нам тензор типа II, но в форме взвешенной суммы тензоров типа III, которые теперь различны в каждой «области перекрывания». Цепочка и привела бы нас опять к этой взвешенной сумме вместо того, чтобы дать тождество на типе III. Но если предположить выполнение равенства (2.4.12), то данная цепочка тоже даст тождество, поскольку при каждом выполняется равенство

в силу формул (2.4.12), (2.4.13) и (2.4.4). Таким образом, мы установили полную эквивалентность рассматриваемых трех типов тензоров,